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Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 7

Sejam xx, yy e zz números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base kk são números primos satisfazendo

log⁡k(xy)=49,\log_k(xy) = 49, log⁡k(x/z)=44.\log_k(x/z) = 44.

Então, log⁡k(xyz)\log_k(xyz) é igual a

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 7: alternativa A

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa paridade: soma de dois primos ser ímpar obriga um deles a ser 2.

Por onde começar · passo 1 de 4

Traduza com as propriedades do log

log(xy) e log(x/z) viram o quê em termos de log x, log y, log z?

Com a=log⁡kxa = \log_k x, b=log⁡kyb = \log_k y, c=log⁡kzc = \log_k z (todos primos): produto vira soma, quociente vira diferença. O pedido é log⁡k(xyz)=a+b+c=49+c\log_k(xyz) = a + b + c = 49 + c.

A armadilha

Quem põe log x = 2 (e não log y) chega em log z = −42, que não é primo; e quem chuta sem paridade fica testando casos. Cada alternativa é 49 + log z: só 52 dá log z primo compatível.

Quem cai nela marca D, B, C.

casoa = log xb = 49 − ac = a − 44todos primos?
a = 2247−42não
b = 24723sim
A paridade deixa só dois casos; apenas b = 2 dá três primos.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

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