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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 8

Se para todo z∈Cz \in \mathbb{C}, ∣f(z)∣=∣z∣|f(z)| = |z| e ∣f(z)−f(1)∣=∣z−1∣|f(z) - f(1)| = |z - 1|, então, para todo z∈Cz \in \mathbb{C}, f(1)‾ f(z)+f(1) f(z)‾\overline{f(1)}\,f(z) + f(1)\,\overline{f(z)} é igual a

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Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 8: alternativa C

2Re⁡z2 \operatorname{Re} z

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa |w|² = w·w̄ para expandir o módulo de uma diferença e isolar o termo cruzado sem conhecer f.

Por onde começar · passo 1 de 4

Extraia |f(1)| da primeira hipótese

Quanto vale |f(1)|?

Com z=1z = 1 em ∣f(z)∣=∣z∣|f(z)| = |z|: ∣f(1)∣=1|f(1)| = 1. Também ∣f(z)∣2=∣z∣2|f(z)|^2 = |z|^2 para todo zz.

A armadilha

Não tente descobrir f. A expressão pedida é w + w̄ com w = conj(f(1))·f(z), logo é real: 2z (B) não serve. E |f(1)| = 1 vem da hipótese com z = 1; quem esquece isso não fecha a conta.

Quem cai nela marca B, E.

|w| = 10, 1, z0, f(1), f(z)01z = 2 + if(1)f(z)|z − 1||f(z) − f(1)|
Exemplo com f = rotação de 60°: os triângulos 0,1,z e 0,f(1),f(z) são congruentes, então o produto escalar Re z se conserva.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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