EsmerEntrar
Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 7

Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S=∑k=0101log⁡8(4k2)S = \sum_{k=0}^{101} \log_8\left(4^k \sqrt{2}\right):

I. SS é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita

II. SS é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão 2/32/3

III. S=3451S = 3451

IV. S≤3434+log⁡82S \leq 3434 + \log_8 \sqrt{2}

Então, pode-se afirmar que é(são) verdadeira(s) apenas

👉 Tente resolver: clique na alternativa e confirme sua resposta.Rascunho de prova: ✕ elimina, ★ marca como provável (no celular, arraste a alternativa para o lado).

00:00
Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 7: alternativa B

II e III

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você percebe que o log de uma PG é uma PA e soma 102 termos sem errar a contagem nem o termo constante.

Por onde começar · passo 1 de 4

Reescreva o termo geral na base 2

Qual é log_8(4^k √2) como expressão em k?

4k2=22k⋅21/2=22k+1/24^k\sqrt{2} = 2^{2k}\cdot 2^{1/2} = 2^{2k+1/2} e log⁡82=13\log_8 2 = \tfrac13. Logo ak=2k+1/23=2k3+16a_k = \dfrac{2k + 1/2}{3} = \dfrac{2k}{3} + \dfrac16.

A armadilha

A soma tem 102 termos (k de 0 a 101), não 101; e o 1/6 de cada termo soma 17, não 1/6. Quem esquece isso chega perto de 3434 + 1/6 e acha IV verdadeira (C); quem olha os 4^k marca a PG (A).

Quem cai nela marca A, C.

k4^k√2a_k = log_8(4^k√2)
02^{1/2}1/6
12^{5/2}5/6
22^{9/2}9/6
32^{13/2}13/6
1012^{404,5}405/6
Os argumentos multiplicam por 4 (PG); os logaritmos somam 4/6 = 2/3 (PA).

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

Com a conta grátis você vê 5 explicações completas. No Premium, por R$ 29/mês, todas — e ainda o diagnóstico do seu erro.

⚡ Com a conta grátis você responde as questões oficiais e vê o gabarito

Encontrou um problema nesta questão?

📄 Ver esta questão na prova oficial do ITA (PDF, Matemática)

Onde estudar isto

Questões relacionadas

Mais questões