EsmerEntrar
Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 17

Sejam A:(a,0)A : (a, 0), B:(0,a)B : (0, a) e C:(a,a)C : (a, a), pontos do plano cartesiano, em que aa é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P:(x,y)P : (x, y) cuja distância à reta que passa por AA e BB, é igual à distância de PP ao ponto CC.

👉 Tente resolver: clique na alternativa e confirme sua resposta.Rascunho de prova: ✕ elimina, ★ marca como provável (no celular, arraste a alternativa para o lado).

00:00
Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 17: alternativa A

x2+y2−2xy−2ax−2ay+3a2=0x^2 + y^2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a^2 = 0

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você reconhece uma parábola definida por foco e diretriz e traduz isso em equação sem errar sinal.

Por onde começar · passo 1 de 5

Escreva a reta AB e confira que C não está nela

Que reta passa por (a, 0) e (0, a)? C = (a, a) pertence a ela?

Pela forma segmentária, xa+ya=1\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1, isto é, x+y−a=0x + y - a = 0. Em C: a+a−a=a≠0a + a - a = a \neq 0, porque a≠0a \neq 0. O foco fica fora da diretriz, então o lugar é uma parábola de verdade, e não um par de retas degenerado.

A armadilha

Quem troca o sinal ao expandir $(x+y-a)^2$ ou esquece de elevar a distância ponto-reta ao quadrado com o fator $1/2$ chega a C ou D; quem nem confere se o lugar existe pode cair em B, que é um conjunto vazio.

Quem cai nela marca C, D, B.

-1012340246xyfoco C (a, a)vértice (3a/4, 3a/4)pé da perpendicular (a/2, a/2)
  • ramo superior (a = 1)
  • ramo inferior (a = 1)
  • diretriz AB: x + y = 1
Com a = 1, a curva de A é a parábola de foco C e diretriz AB, com eixo na reta y = x. Para desenhá-la, resolvemos em y: y = x + 1 ± √(4x − 2).

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

Com a conta grátis você vê 5 explicações completas. No Premium, por R$ 29/mês, todas — e ainda o diagnóstico do seu erro.

⚡ Com a conta grátis você responde as questões oficiais e vê o gabarito

Encontrou um problema nesta questão?

📄 Ver esta questão na prova oficial do ITA (PDF, Matemática)

Onde estudar isto

Questões relacionadas

Mais questões