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Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 3

Considere a equação:

16(1−ix1+ix)3=(1+i1−i−1−i1+i)4.16\left(\frac{1 - ix}{1 + ix}\right)^3 = \left(\frac{1 + i}{1 - i} - \frac{1 - i}{1 + i}\right)^4.

Sendo xx um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 3: alternativa B

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você simplifica o lado direito até um número e enxerga que sobra um cubo igual a 1, sem se perder em potências de complexos.

Por onde começar · passo 1 de 5

Reduza o lado direito a um número

Quanto vale (1+i)/(1−i)? E o seu inverso?

Multiplicando pelo conjugado: 1+i1−i=(1+i)22=2i2=i\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{2} = \frac{2i}{2} = i. O outro é o inverso: 1i=−i\frac{1}{i} = -i. A diferença é i−(−i)=2ii-(-i) = 2i e (2i)4=16 i4=16(2i)^4 = 16\,i^4 = 16.

A armadilha

Quem acha as raízes certas e erra só a soma final cai fora: usar Girard em x³ − 3x = 0 esquecendo o fator 2 em (Σx)² − 2Σxᵢxⱼ dá 3; contar só a raiz positiva também dá 3.

Quem cai nela marca A, C, D.

w = 1 → x = 0w = ω → x = −√3w = ω² → x = √3
w = (1−ix)/(1+ix) anda no círculo unitário; w³ = 1 nas três raízes cúbicas da unidade, e cada uma corresponde a um x real.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

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