Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 5

Considere: um retângulo cujos lados medem $B$ e $H$ , um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, $B$ e $H$ , e o círculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do círculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então $B/H$ é uma raiz do polinômio

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00:00

A
$\pi^3 x^3 + \pi^2 x^2 + \pi x - 2 = 0$ .
B
$\pi^2 x^3 + \pi^3 x^2 + x + 1 = 0$ .
C
$\pi^3 x^3 - \pi^2 x^2 + \pi x + 2 = 0$ .
D
$\pi x^3 - \pi^2 x^2 + 2\pi x - 1 = 0$ .
E
$x^3 - 2\pi^2 x^2 + \pi x - 1 = 0$ .

Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 5: alternativa D

$\pi x^3 - \pi^2 x^2 + 2\pi x - 1 = 0$ .

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você percebe que a razão da PG já está fixada em 1/2 e monta o raio inscrito por r = área/semiperímetro.

Por onde começar · passo 1 de 5

Descubra a razão da PG sem conta

Qual a razão entre a área do triângulo e a do retângulo?

Retângulo: $BH$ . Triângulo de base $B$ e altura $H$ : $BH/2$ . A razão é $q = 1/2$ obrigatoriamente, então o terceiro termo é $\pi r^2 = BH/4$ .

A armadilha

O passo perigoso é elevar ao quadrado duas vezes: o cúbico final tem uma raiz estranha (πx < 1) e um sinal trocado na hora de isolar o radical leva a polinômios parecidos com o certo, como A e E.

Quem cai nela marca A, E.

Caso B/H ≈ 2,347 em escala: cada figura tem metade da área da anterior (razão 1/2).

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

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