Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 6

Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão $r$ , então $r$ pertence ao intervalo

👉 Tente resolver: clique na alternativa e confirme sua resposta.Rascunho de prova: ✕ elimina, ★ marca como provável (no celular, arraste a alternativa para o lado).

00:00

A
$\left(0, (1 + \sqrt{2})/2\right)$ .
B
$\left((1 + \sqrt{2})/2, \sqrt{(1 + \sqrt{5})/2}\right)$ .
C
$\left(\sqrt{(1 + \sqrt{5})/2}, (1 + \sqrt{5})/2\right)$ .
D
$\left((1 + \sqrt{5})/2, \sqrt{2 + \sqrt{2}/2}\right)$ .
E
$\left(\sqrt{2 + \sqrt{2}/2}, (2 + \sqrt{3})/2\right)$ .

Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 6: alternativa C

$\left(\sqrt{(1 + \sqrt{5})/2}, (1 + \sqrt{5})/2\right)$ .

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você impõe as duas condições ao mesmo tempo: existir o triângulo (desigualdade triangular) e ele ser obtusângulo.

Por onde começar · passo 1 de 5

Monte os lados e fixe a ordem

Se os lados são a, ar, ar² com r > 1, qual é o maior?

Com $a > 0$ e $r > 1$ , o maior lado é $ar^2$ . Para $r = 1$ o triângulo é equilátero (agudo), então $r \neq 1$ . Os intervalos das alternativas (exceto o início da A) estão acima de 1, o que confirma a leitura com lados em ordem crescente.

A armadilha

Quem só impõe "obtusângulo" e esquece que o triângulo precisa existir aceita r > φ e marca D ou E. Quem só impõe a desigualdade triangular, ou testa o ângulo errado, fica com A ou B.

Quem cai nela marca D, E, A, B.

r² − r − 1 (precisa < 0: existe)
r⁴ − r² − 1 (precisa > 0: obtuso)

A janela válida é onde a curva de existência está abaixo de zero e a de obtuso acima: entre √φ e φ.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

Ver a resolução completa

Entenda por que cada alternativa está certa ou errada, passo a passo — gerado pela IA do Esmer.

Com a conta grátis você vê 5 explicações completas. No Premium, por R$ 29/mês, todas — e ainda o diagnóstico do seu erro.

⚡ Com a conta grátis você responde as questões oficiais e vê o gabarito

Criar conta grátis e ver a explicação →

Encontrou um problema nesta questão?

📄 Ver esta questão na prova oficial do ITA (PDF, Matemática)

Questões relacionadas

Mais questões

📄 Prova do ITA 2007 completa · ITA 2006 · ITA 2008
🧭 Como é a prova do ITA · Como funciona a prova do ITA