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Matemática

ITA 2007 Matemática — Questão 8

Sejam xx e yy dois números reais tais que exe^x, eye^y e o quociente

ex−254−ey5\frac{e^x - 2\sqrt{5}}{4 - e^y\sqrt{5}}

são todos racionais. A soma x+yx + y é igual a

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2007 Matemática, questão 8: alternativa E

3log⁡e23\log_e 2.

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você sabe que $p + q\sqrt{5} = 0$ com $p, q$ racionais força $p = q = 0$ — e usa isso para amarrar $e^x$ a $e^y$.

Por onde começar · passo 1 de 4

Dê nome aos racionais

O que a hipótese garante sobre exe^x, eye^y e o quociente?

Sejam a=ex>0a = e^x > 0, b=ey>0b = e^y > 0 e qq o quociente, todos em Q\mathbb{Q}. O denominador nunca zera: 4=b54 = b\sqrt5 exigiria 5=4/b\sqrt5 = 4/b racional. Então podemos multiplicar em cruz.

A armadilha

Quem tenta achar $x$ e $y$ separadamente trava: eles não são únicos. Só o produto $e^x e^y = 8$ é fixo. Quem chega em 8 mas troca a base do log (ou confunde $\ln 8$ com $\log_5$ de algo) cai em C ou D.

Quem cai nela marca C, D.

parte racionalcoeficiente de √5
lado esquerdo: a − 2√5a−2
lado direito: 4q − qb√54q−qb
igualandoa = 4qqb = 2
eliminando qab = 8e^(x+y) = 8
Uma equação com √5 vira duas equações racionais; juntas, elas fixam o produto ab.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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