Semelhança: lados em k, área em k²

Ampliar ou reduzir uma figura multiplica os lados por k, mas a área por k².

caiu 3× no ENEM · 2018 · 2013 · 2012aula de 2 minutos

Em 60 segundos

Duas figuras são semelhantes quando uma é cópia ampliada ou reduzida da outra: ângulos iguais e todos os lados multiplicados pela mesma razão $k$ . Em triângulos, basta ter dois ângulos iguais (um ângulo comum e um reto já resolve). Perímetro e qualquer outro comprimento seguem $k$ ; a área segue $k^2$ . Então, se a área precisa cair para $\tfrac{1}{16}$ , o tamanho cai só para $\sqrt{\tfrac{1}{16}} = \tfrac14$ . Na figura, procure segmentos paralelos ou perpendiculares ao mesmo solo: eles criam pares de triângulos semelhantes.

$\dfrac{a'}{a} = \dfrac{b'}{b} = \dfrac{c'}{c} = k \qquad \dfrac{A'}{A} = k^2$

✓
Dois ângulos iguais bastam para dois triângulos serem semelhantes.
✓
Comprimentos (lados, perímetro, alturas) mudam na razão k.
✓
Áreas mudam na razão k²; para a área virar f, o lado vira √f.
✓
Monte a proporção com lados correspondentes, opostos a ângulos iguais.

Veja funcionando

Mesmos ângulos, lados todos multiplicados por k = 2: o perímetro dobra (12 → 24), mas a área quadruplica (6 → 24).

🎛️ Arraste k: o perímetro acompanha k, mas a área dispara (ou despenca) com k². Em k = 1/4 a área vira 1/16.

🧪 Simulação

Amplie ou reduza um triângulo

Mude a razão de semelhança k e compare o que acontece com o perímetro e com a área.

Razão de semelhança k2

Perímetro da cópia (original 12): 24
Área da cópia (original 6): 24
Perímetro foi multiplicado por: 2
Área foi multiplicada por k²: 4

O ângulo α não muda; os lados crescem em k e a área em k².

Com k = 2, o perímetro vai de 12 para 24 (×2), mas a área vai de 6 para 24 (×4).