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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 1

Seja EE um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA‾\overline{EA} e ED‾\overline{ED} interceptam essa circunferência nos pontos BB e AA, e, CC e DD, respectivamente. A corda AF‾\overline{AF} da circunferência intercepta o segmento ED‾\overline{ED} no ponto GG. Se EB=5EB = 5, BA=7BA = 7, EC=4EC = 4, GD=3GD = 3 e AG=6AG = 6, então GFGF vale

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Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 1: alternativa D

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O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa as duas faces da potência de ponto: secantes a partir de um ponto externo e cordas que se cruzam dentro do círculo.

Por onde começar · passo 1 de 5

Organize os pontos nas duas secantes

Em que ordem os pontos aparecem a partir de E em cada segmento?

Em EA‾\overline{EA}: E, depois B (entrada no círculo), depois A. Então EA=EB+BA=5+7=12EA = EB + BA = 5 + 7 = 12. Em ED‾\overline{ED}: E, C, D, com EC=4EC = 4 e EDED desconhecido. A corda AF‾\overline{AF} corta ED‾\overline{ED} em G, que fica dentro do círculo, portanto entre C e D.

A armadilha

O dado GD = 3 só serve se você souber CG, e CG só sai de ED, que exige a potência de E. Quem pula essa etapa e usa EC = 4 no lugar de CG faz 6·GF = 4·3 e marca 2; quem chuta simetria (GF = GD) marca 3.

Quem cai nela marca B, C.

EA = 12EBACDGFCG = 8GD = 3AG = 6GF = 4
Configuração em escala: E externo, secantes EBA e ECD; a corda AF cruza CD em G, onde 6·4 = 8·3.

Na resolução completa vêm os outros 4 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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