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Matemática

ITA 2006 Matemática — Questão 10

Se α∈[0; 2π)\alpha \in [0;\, 2\pi) é o argumento de um número complexo z≠0z \neq 0 e nn é um número natural tal que (z/∣z∣)n=isen⁡(nα)(z/|z|)^n = i \operatorname{sen}(n\alpha), então, é verdade que

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Só quero ver o gabarito

Gabarito do ITA 2006 Matemática, questão 10: alternativa B

2nα−π2n\alpha - \pi é múltiplo de 2π2\pi

O que a questão pede

Aqui o ITA quer ver se você usa De Moivre e percebe que a igualdade só exige parte real nula: cos(nα) = 0.

Por onde começar · passo 1 de 4

Normalize e use De Moivre

Que número é z/|z| quando arg z = α?

z/∣z∣z/|z| tem módulo 1 e argumento α\alpha, então z/∣z∣=cos⁡α+isen⁡αz/|z| = \cos\alpha + i\operatorname{sen}\alpha. Pela fórmula de De Moivre, elevar a nn multiplica o argumento por nn.

A armadilha

Quem iguala as partes imaginárias e conclui sen(nα) = 0 (ou nα múltiplo de π) marca A ou E; quem pensa em "real = imaginário" chega a nα = π/4 + kπ/2 e marca C.

Quem cai nela marca A, C, E.

ReImnα = π/2: inα = 3π/2: −iπ/4 (C): não servenα = 0 (A, E): não serve
(z/|z|)ⁿ cai no ciclo; para ser igual a i·sen(nα) precisa estar sobre o eixo imaginário: só os pontos ±i.

Na resolução completa vêm os outros 3 passos, o motivo de cada alternativa estar certa ou errada.

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