Questões de Geometria Analítica no ITA

Seja H uma hipérbole no plano cartesiano cujos focos são comuns aos focos da elipse E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1. Seja P um ponto de interseção de E e …

Considere o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (\sqrt{2}, \sqrt{3}) e C = \left(\frac{5}{2}\sqrt{2}, 0\right). A equação da reta que passa por B e…

Considere a elipse dada pela equação \lambda x^2 + (\lambda + 4)y^2 - 4\lambda x - (10\lambda + 40)y + 25(\lambda + 4) - \lambda^2 = 0, e o círculo d…

Considere a hipérbole H de equação x^2 - \frac{y^2}{4} = 1. Seja T um triângulo de vértices P, F1, F2, onde F1 e F2 são os focos de H e P um ponto em…

Seja b \in \mathbb{R} tal que a equação x^2 - 6bx - (1 - b^2)(y^2 - 2by) + b^4 + 8b^2 - 1 = 0 determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta…

Os vértices da base de um triângulo isósceles PQR, inscrito numa circunferência de centro O = (5, 0), são P = (4, 2\sqrt{2}) e Q = (8, 0). Se o vérti…

Considere a curva plana definida pela equação 9x^2 + 4y^2 + 36x + 24y + 36 = 0. O ponto P = (0, 0) é vértice de um retângulo circunscrito à curva. En…

Duas curvas planas c1 e c2 são definidas pelas equações c1: 16x^2 + 9y^2 - 224x - 72y + 640 = 0, c2: x^2 + y^2 + 4x - 10y + 13 = 0. Sejam P e Q os po…

Os pontos B = (1, 1 + 6\sqrt{2}) e C = (1 + 6\sqrt{2}, 1) são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o rai…

Seja \gamma a circunferência de equação x^2 + y^2 = 4. Se r e s são duas retas que se interceptam no ponto P = (1,3) e são tangentes a \gamma, então …

Considere a definição: duas circunferências são ortogonais quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendi…

Considere a reta r: y = 2x. Seja A = (3,3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é

Sejam S1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y \geq ||x| - 1|\} e S2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + (y + 1)^2 \leq 25\}. A área da região S1 \cap S2 é

Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x^2 + y^2 = 4 e à reta y = 2(1 - x), então o valor do cosseno do ângulo POQ é igual a

Se a reta de equação x = a divide o quadrilátero cujos vértices são (0, 1), (2, 0), (4, 0) e (6, 4) em duas regiões de mesma área, então o valor de a…

Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x + 4y - 4 = 0 e s : 3x + 4y - 19 = 0. A área do círculo determinado por C é igual a

Considere os pontos A = (0, -1), B = (0, 5) e a reta r : 2x - 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir: I. d(A, r) = d(B, r). II. B é simétrico de A em re…

Dados o ponto A = \left( 4, \frac{25}{6} \right) e a reta r : 3x + 4y - 12 = 0, considere o triângulo de vértices ABC, cuja base \overline{BC} está c…

Considere as afirmações a seguir: I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento \overline{AB}, com comprimento l fixado, cujos extremos se desl…

Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x - y = 0. Sabendo-se que a potência do ponto O = (0, 0) em r…

Seja ABC um triângulo de vértices A = (1,4), B = (5,1) e C = (5,5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimen…

A equação do círculo localizado no 1^o quadrante que tem área igual a 4\pi (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas r : 2x - 2y + 5…

Sobre a parábola definida pela equação x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 pode-se afirmar que

Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância,…

A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r : x - 3y + 3 = 0 e s : 3x + y - 21 = 0, em unidades de área, é igual a

Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar geométrico dos pontos que se encontram a uma distância d = 2 da bissetriz interna, por A…

Sejam m e n inteiros tais que \frac{m}{n} = -\frac{2}{3} e a equação 36x^2 + 36y^2 + mx + ny - 23 = 0 representa uma circunferência de raio r = 1\,cm…

Considere as circunferências C1: (x-4)^2+(y-3)^2 = 4 e C2: (x-10)^2+(y-11)^2 = 9. Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2, isto é, r tangencia C1 …

Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano xOy, sendo B = (2, 1) e C = (5, 5). Das seguintes afirmações: I. A se encontra s…

No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t : x = 1 e ao ponto A = (3, 2) é igual a 4. En…