Questões de Álgebra no ITA

O conjunto de todos os valores a \in \mathbb{R} para os quais a equação 9^x - (3a + 4)3^x + 2a^2 + 9a - 5 = 0 tem duas soluções reais distintas é

Uma raiz comum aos polinômios p(x) = x^5 - x^3 + 12x - 18 e q(x) = x^4 - x^3 + 5x - 3 é

Considere o conjunto C = \{1, 2, 3, 4, 5\}. Para cada escolha possível de a0, a1, a2, a3, a4 \in C, dois a dois distintos, formamos o polinômio a0 + …

A média harmônica de n números reais positivos a1, a2, ..., an é H = \frac{n}{\frac{1}{a1} + \frac{1}{a2} + ... + \frac{1}{an}}. Sabendo que o polinô…

Se x = 9\log{120} 2 + 3\log{120} 3 + 2\log{14400} 125 podemos afirmar que

Seja S \subset \mathbb{R} o conjunto solução da inequação (x^2 + x + 1)^{2x^2-x-1} \leq 1. Podemos afirmar que:

Seja p(x) um polinômio com coeficientes inteiros tal que p(51) = 391 e 0 \leq p(3) < 12. Então, p(3) é igual a:

Sejam x1, x2, x3, x4, x5 e x6 números reais tais que 2^{x1} = 4; 3^{x2} = 5; 4^{x3} = 6; 5^{x4} = 7; 6^{x5} = 8 e 7^{x6} = 9. Então, o produto x1 x2 …

Considere o polinômio p(x) = x^3 - mx^2 + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z = a + bi, com a, b \in \mathbb{R}, da …

Seja p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que: I. p(x) é divisível por x^2 - 4; II. a soma das raízes de p…

Seja p(x) = x^3 + ax^2 + bx um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é i…

Considere as seguintes afirmações: I. se n é um número natural, então \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2}. II. se …

Considere as seguintes afirmações: I. se x1, x2 e x3 são as raízes da equação x^3 - 2x^2 + x + 2 = 0, então y1 = x2x3, y2 = x1x3 e y3 = x1x2 são as r…

Se x é um número real que satisfaz x^3 = x + 2, então x^{10} é igual a

Considere as funções f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d \in \mathbb{R}, a \neq 0 e c \neq 0. Se…

Para que o sistema \begin{cases} x + y = 1 \\ x^3 + y^3 = c^2 \end{cases} admita apenas soluções reais, todos os valores reais de c pertencem ao conj…

Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações: I. a^{(\logc b)} = b^{(\logc a)} II. \left(\frac{a}{b}\right)^{\logd c} \…

Seja p o polinômio dado por p(x) = x^8 + x^m - 2x^n, em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos …

Considere a equação \frac{a}{1-x^2} - \frac{b}{x-1/2} = 5, com a e b números inteiros positivos. Das afirmações: I. Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é u…

Considere o polinômio p dado por p(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 16, com a, b \in \mathbb{R}. Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p, e…

Seja p o polinômio dado por p(x) = \sum{j=0}^{15} aj x^j, com aj \in \mathbb{R}, j = 0, 1, \ldots, 15, e a{15} \neq 0. Sabendo-se que i é uma raiz de…

Considere os polinômios em x \in \mathbb{R} da forma p(x) = x^5 + a3x^3 + a2x^2 + a1x. As raízes de p(x) = 0 constituem uma progressão aritmética de …

A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação 8^{\sqrt{x+1}} + 44\left(2^{\sqrt{x+1}}\right) + 64 = 19\left(4^{\sqrt{x+1}}\right) é igu…

Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações \sqrt{a\sqrt{b}} = \frac{1}{2} \quad \text{e} \quad \ln(a^2 + b) + \ln 8 = \ln 5, …

Seja \lambda solução real da equação \sqrt{\lambda + 9} + \sqrt{2\lambda + 17} = 12. Então a soma das soluções z, com \text{Re } z 0, da equação z^4 …

As raízes x1, x2 e x3 do polinômio p(x) = 16 + ax - (4 + \sqrt{2})x^2 + x^3 estão relacionadas pelas equações: x1 + 2x2 + \frac{x3}{2} = 2 e x1 - 2x2…

Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que -2i e i - \sqrt{3} são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo…

Considere um número real a \neq 1 positivo, fixado, e a equação em x a^{2x} + 2\beta a^x - \beta = 0, \beta \in \mathbb{R} Das afirmações: I : Se \be…

Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x^4 + x^2 + ax + b = 0, com a, b \in \mathbb{R}, então a^2 - b^3 é igual a

O produto das raízes reais da equação |x^2 - 3x + 2| = |2x - 3| é igual a