Questões de Matrizes e Sistemas Lineares no ITA

Sejam m, n e k números reais. Considere os sistemas abaixo: I: \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 2 \\ 2x + y + 4z = 1 \end{cases} \quad \qu…

Sejam A, B, C, D \in Mn(\mathbb{R}). Considere o sistema linear \begin{cases} AX = B \\ DX + Y = C \end{cases} nas variáveis X, Y \in Mn(\mathbb{R}).…

Considere A \in M3(\mathbb{R}) tal que existe um único número real x que satisfaz a equação \det(\sqrt[3]{2}\,x^2A) + \det(xA^3) = \det A^2. Então, x…

Seja m \in \mathbb{R}. Considere os sistemas lineares S1: \begin{cases} 4x - y = 2 \\ -16x + m^2 y + z = -10 \\ 12x - 3y + z = 8 \end{cases} e S2: \b…

Seja n \geq 2 e A, B \in Mn(\mathbb{R}). Considere as seguintes afirmações: I. Se AB \neq BA então ou A ou B não é inversível. II. Se AB = 0 então BA…

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que A é simétrica e que B é antissimétrica. Considere as seguintes afirmações: I. (A + B)^2 = …

Seja A uma matriz real quadrada de ordem 2 tal que A\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & x\\y & 0\end{pmatrix} e A\begin{pma…

Considere o conjunto M(n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n \times n, com exatamente k elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero)…

Assinale a opção que identifica o lugar geométrico de todos os pares ordenados (a,b) \in \mathbb{R}^2 que tornam impossível o sistema linear S: \begi…

Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes A de ordem n \times n inversíveis, tais que os seus elementos e os de sua inversa sejam todo…

Sejam x1, \ldots, x5 e y1, \ldots, y5 números reais arbitrários e A = (a{ij}) uma matriz 5 \times 5 definida por a{ij} = xi + yj, 1 \leq i, j \leq 5.…

Sejam A e B matrizes quadradas n \times n tais que A + B = A \cdot B e In a matriz identidade n \times n. Das afirmações: I. In - B é inversível; II.…

Se o sistema \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2a^2 y + (2a^4 - a)z = 0 \\ x + ay + (a^3 - 1)z = 0 \end{cases} admite infinitas soluções, então os possí…

Considere a matriz \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 3 & 4 & 5 \\ -2 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}, x \in \mathbb{R}. Se o polin…

Considere o sistema de equações S \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{27}{y^2} + \frac{8}{z^3} = 3 \\ \frac{4}{x} + \frac{81}{y^2} + \frac{40}{z^3} = 1…

Sejam D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} e P = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}. …

Se o sistema de equações \begin{cases} x + y + 4z = 2 \\ x + 2y + 7z = 3 \\ 3x + y + az = b \end{cases} é impossível, então os valores de a e b são t…

Se M = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} e N = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, então MN^T - M^{-1}N é igual a

Seja A = (a{ij}){5 \times 5} a matriz tal que a{ij} = 2^{i-1}(2j - 1), 1 \leq i, j \leq 5. Considere as afirmações a seguir: I. Os elementos de cada …

Considere a matriz M = (m{ij}){2\times 2} tal que m{ij} = j - i + 1, i, j = 1, 2. Sabendo-se que \det \left( \sum{k=1}^{n} M^k - n \begin{bmatrix} 1 …

Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica: I. Se o produto AB for inversíve…

Sejam A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ y & -x & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} x+1 & x \\ y-2 & y \\ z+3 & z \end{bmatrix} matrizes reais tai…

Considere a equação A(t)X = B(t), t \in \mathbb{R}, em que A(t) = \begin{bmatrix} 2e^{-2t} & -e^{2t} & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 2 \end{bmatrix}, …

Considere A \in M{5x5}(\mathbb{R}) com \det(A) = \sqrt{6} e \alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}. Se \det(\alpha A^t A A^t) = \sqrt{6}\alpha^2, o va…

O sistema \begin{cases} x + 2y + 3z = a \\ y + 2z = b \\ 3x - y - 5cz = 0 \end{cases}

Considere as afirmações abaixo: I - Se M é uma matriz quadrada de ordem n 1, não-nula e não-inversível, então existe matriz não-nula N, de mesma orde…

Considere a matriz A = \begin{bmatrix} a1 & a2 & a3 \\ 0 & a4 & a5 \\ 0 & 0 & a6 \end{bmatrix} \in M{3 \times 3}(\mathbb{R}), em que a4 = 10, \det A …

Sobre os elementos da matriz A = \begin{bmatrix} x1 & x2 & x3 & x4 \\ y1 & y2 & y3 & y4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in M{4 \time…

Dados A \in M{3 \times 2}(\mathbb{R}) e b \in M{3 \times 1}(\mathbb{R}), dizemos que X0 \in M{2 \times 1}(\mathbb{R}) é a melhor aproximação quadráti…

O sistema \begin{cases} a1x + b1y = c1 \\ a2x + b2y = c2 \end{cases} , a1, a2, b1, b2, c1, c2 \in \mathbb{R}, com (c1, c2) \neq (0, 0), a1c1 + a2c2 =…