Questões de Números Complexos no ITA

Seja z = a + 2i um número complexo, em que a \in \mathbb{R} é positivo. O valor de a para que as representações de 1, z e z^2 no plano de Argand-Gaus…

Sejam a = 1 + 3\sqrt{3}i e b = 2\sqrt{3} + 4i números complexos. O menor valor m \in \mathbb{N} tal que a^m = b^m é:

Sejam z \in \mathbb{C} e f(z) = z^2 + i. Para cada n \in \mathbb{N}, definimos f^{(1)}(z) = f(z) e f^{(n)}(z) = f(f^{(n-1)}(z)). Então, f^{(2023)}(0)…

Dado z = 5 - 5i \in \mathbb{C}, definimos f(n) = |z^{(2n+1)} + \bar{z}^{(2n+1)}| para cada n \in \mathbb{N}. A soma de f(n) para n de 1 até 20 é

Sejam z1, z2 \in \mathbb{C} com z2 \neq 0. Considere as afirmações: I. Se z1 + z2 \in \mathbb{R} e z1 - z2 \in \mathbb{R} então z1 \in \mathbb{R} e z…

Considere o polinômio p(z) = z^4 - 6z^3 + 14z^2 - 6z + 13 e note que p(i) = 0. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raíze…

Seja z \in \mathbb{C}. Se a representação dos números 4, z + 2 e z^2 no plano complexo são vértices de um triângulo equilátero, então o comprimento d…

Sabe-se que -2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raí…

As raízes do polinômio 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 + z^7, quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo c…

O lugar geométrico das soluções da equação x^2 + bx + 1 = 0, quando |b| < 2, b \in \mathbb{R}, é representado no plano complexo por

Considere a equação (a - bi)^{501} = \frac{2(a + bi)}{(a^2 + b^2)^{250} + 1}. O número de pares ordenados (a, b) \in \mathbb{R}^2 que satisfazem a eq…

O lugar geométrico dos pontos (a, b) \in \mathbb{R}^2 tais que a equação, em z \in \mathbb{C}, z^2 + z + 2 - (a + ib) = 0 possua uma raiz puramente i…

Considere as afirmações a seguir: I. Se z e w são números complexos tais que z - iw = 1 - 2i e w - z = 2 + 3i, então z^2 + w^2 = -3 + 6i. II. A soma …

Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por p(z) = z^4 + (2 + i)z^3 + (2 + i)z^2 + (2 + i)z + (1 + i). Podemos afirmar que

Sejam A, B e C os subconjuntos de \mathbb{C} definidos por A = \{z \in \mathbb{C} : |z + 2 - 3i| < \sqrt{19}\}, B = \{z \in \mathbb{C} : |z + i| < 7/…

Se z = \left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{1 - \sqrt{3}i}\right)^{10}, então o valor de 2 \arcsen(\text{Re}(z)) + 5 \arctg(2 \text{Im}(z)) é igual a

Se z \in \mathbb{C}, então z^6 - 3|z|^4(z^2 - \overline{z}^2) - \overline{z}^6 é igual a

Sejam z, w \in \mathbb{C}. Das afirmações: I. |z + w|^2 + |z - w|^2 = 2(|z|^2 + |w|^2); II. (z + \overline{w})^2 - (z - \overline{w})^2 = 4z\overline…

Considere o polinômio complexo p(z) = z^4 + a z^3 + 5 z^2 - i z - 6, em que a é uma constante complexa. Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) = 0, …

A soma das raízes da equação em \mathbb{C}, z^8 - 17z^4 + 16 = 0, tais que z - |z| = 0, é

Considere a equação em \mathbb{C}, (z - 5 + 3i)^4 = 1. Se z0 é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então o…

Sejam z = n^2(\cos 45° + i \sen 45°) e w = n(\cos 15° + i \sen 15°), em que n é o menor inteiro positivo tal que (1 + i)^n é real. Então, \frac{z}{w}…

Se \arg z = \frac{\pi}{4}, então um valor para \arg(-2iz) é

Dado z = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{3}i), então \sum{n=1}^{89} z^n é igual a

Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e z2: I - |z1 - z2| \leq ||z1| - |z2||. II - |\overline{z1} \cdot z2| = ||\overline{z2}| \cdot |\ove…

A soma de todas as soluções da equação em \mathbb{C}: z^2 + |z|^2 + iz - 1 = 0 é igual a

Se z é uma solução da equação em \mathbb{C}, z - \overline{z} + |z|^2 = - \left[\left(\sqrt{2} + i\right) \left(\frac{\sqrt{2} - 1}{3} - i \frac{\sqr…

Os argumentos principais das soluções da equação em z, iz + 3\overline{z} + (z + \overline{z})^2 - i = 0, pertencem a

Se a = \cos \frac{\pi}{5} e b = \sen \frac{\pi}{5}, então, o número complexo \left(\cos \frac{\pi}{5} + i \sen \frac{\pi}{5}\right)^{54} é igual a

Sejam \alpha, \beta \in \mathbb{C} tais que |\alpha| = |\beta| = 1 e |\alpha - \beta| = \sqrt{2}. Então \alpha^2 + \beta^2 é igual a