📐 Questões de Matemática do ITA

Descreva todas as progressões aritméticas de 10 números naturais cuja soma resulte em 435.

Sabe-se que a área de uma elipse é proporcional ao produto das medidas de seus eixos maior e menor. Considere duas elipses, E1 e E2, ambas com os mes…

De um ponto E pertencente ao lado AB de um quadrado ABCD de lado medindo 10, é traçada uma reta r, paralela à diagonal AC, que intercepta o lado BC n…

Determine todos os valores x \in \mathbb{R} tais que |\log2(2^x + 2)| |2x|.

Seja r um número real positivo. No plano complexo, considere o polígono cujos vértices são as oito raízes da equação r + iz^8 = 0. Sabendo que a área…

Seja ABC um triângulo no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B = (2, 4) e C, o qual pertence à circunferência de raio 2 e centro (4, 0). A maio…

Considere as afirmações abaixo: I. Sejam A, B \in Mn(\mathbb{R}), com A invertível, A^t = A^{-1} e B simétrica. Então, A(In - BA)^t = A - B. II. Seja…

Considere o polinômio p(x) = x^7 + 3ax^6 - x^5 - 5ax^4 + 7x^3 - 7ax^2 + 9x + a, em que a é um número real. Sabendo que p(x) é divisível pelo polinômi…

Seja ABC um triângulo no plano cartesiano com vértices na elipse de equação 2x^2 + y^2 = 6. Sabendo que os vértices A e B têm abscissa 1 e que o perí…

Três jogadores disputam um jogo, arremessando moedas. O jogador A arremessa uma moeda repetidas vezes até que obtenha cara, recebendo um ponto por la…

Sejam m, n \in \mathbb{N}, z = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)^m e w = \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{2}i\right)^n. S…

Determine quantas sêxtuplas ordenadas de números naturais (x1, x2, x3, x4, x5, x6) satisfazem o sistema \begin{cases} x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + 3x6 = …

Determine todos os números x \in \mathbb{R} que satisfazem a equação \frac{\operatorname{sen}^2(x)}{1 - \cos(x)} \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{x…

Determine todos os valores inteiros n tais que o quociente \frac{2n^3 - 5n^2 - 52n + 90}{n^2 - 2n - 27} seja um número inteiro.

Considere um retângulo ABCD cujos lados medem m(\overline{AB}) = 10 e m(\overline{BC}) = 6. Um retângulo EFGH é inscrito em ABCD, com E pertencente a…

Seja f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função. Considere as seguintes afirmações: I. Se f(x) = f(f(x)) para todo x \in \mathbb{R}, então f é uma funç…

Considere uma pirâmide reta cuja base é um hexágono regular de lado 4. As faces laterais dessa pirâmide são triângulos isósceles cujo ângulo do vérti…

Para todo subconjunto S \subset \{n \in \mathbb{N} : 1 \leq n \leq 60\} com 9 elementos, considere as seguintes afirmações: I. Existe um subconjunto …

Considere a função f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x) = \sqrt{1 + \cos(2x)} + \sqrt{1 - \cos(2x)} - \operatorname{sen}(x) - \cos(x). Determi…

Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais tal que p(1+i) = 0 e p(1) = -1. Sabendo que p(p(x)) - p(x^3) é um polinômio de grau 8, o valor de p(-1)…

Um tetraedro possui quatro arestas de tamanho \sqrt{3} e duas arestas opostas de tamanho 2. O volume desse tetraedro é

Considere um polinômio dado por p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 21, em que a, b e c são números reais. Sabe-se que p(x) possui quatro raízes inteiras…

Sejam z,\ w \in \mathbb{C} tais que z - w = -2\sqrt{3} e w \neq 0. Se z tem módulo 2\sqrt{3}, e w tem argumento \pi/6, então a parte real de z é igua…

Considere um octaedro regular, centrado na origem, com três vértices em (5, 0, 0), (0, 5, 0) e (0, 0, 5). Quantos pontos, no interior e na superfície…

Usando os valores aproximados \log{45} 13{,}72 = 0{,}6880, \log{45} 6125 = 2{,}2908, a alternativa que mais aproxima a representação decimal de \log{…

Considere A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. Determine o menor n \in \mathbb{N} tal que a entrada na primeira lin…

Seja A a matriz de ordem 100 \times 100, cujos elementos são descritos pela equação a{ij} = 1 + (1 - i)(1 - j). Considere as seguintes afirmações: I.…

As diagonais do paralelogramo ABCD estão contidas nas retas r:\ 2y - x = 2 e s:\ x + 2y = 8. As retas r e s se encontram no ponto X. Sabendo que C = …

Um alvo é pintado em uma parede, composto de um círculo central e uma sequência de anéis concêntricos de cores alternadas entre vermelho e branco. O …

Os vértices de um polígono são todos os números complexos não nulos que satisfazem a equação iz^2 = 2\bar{z}. A área desse polígono é