Questões de Progressões no ITA

Sejam (an){n\in\mathbb{N}} e (bn){n\in\mathbb{N}} duas sequências numéricas tais que Sn = \sum{k=1}^{n} ak = b{n+1} - b1 \text{ para todo } n \in \ma…

O valor de k \in \mathbb{R} de modo que as raízes do polinômio p(x) = x^3 + 3x^2 - 6x + k estejam em progressão geométrica é:

Sejam x, r \in \mathbb{R} e suponha que -\pi/2 < x - r \leq x + r < \pi/2. Sobre \tan(x - r), \tan(x) e \tan(x + r), nesta ordem, podemos afirmar que:

O número de triângulos, dois a dois não congruentes, de perímetro 87, cujos lados, dispostos em ordem crescente de comprimento, são números inteiros …

Sejam a, b e c números reais, a \neq 0, tais que a^2 + b^2 = c^2. Se a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, então o prod…

A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral an é dado por an = \frac{\cos n + i \cdot \sen n}{2^n}, \quad n = 1, 2, 3, \l…

A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado ap…

Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão \frac{1}{2} e o termo in…

Uma progressão aritmética (a1, a2, \ldots, an) satisfaz a propriedade: para cada n \in \mathbb{N}, a soma da progressão é igual a 2n^2 + 5n. Nessas c…

Sejam a, b, c, d \in \mathbb{R}. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d - 140 formem, nesta ordem…

Considere dois círculos no primeiro quadrante: • C1 com centro (x1, y1), raio r1 e área \frac{\pi}{16}. • C2 com centro (x2, y2), raio r2 e área 144\…

Seja (a1, a2, a3, \ldots) a sequência definida da seguinte forma: a1 = 1000 e an = \log{10}(1 + a{n-1}) para n \geq 2. Considere as afirmações a segu…

Seja (a1, a2, a3, \ldots) a sequência definida da seguinte forma: a1 = 1, a2 = 1 e an = a{n-1} + a{n-2} para n \geq 3. Considere as afirmações a segu…

Uma pirâmide de altura h = 1 \, cm e volume V = 50 \, cm^3 tem como base um polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices do polígono traç…

Considere a equação \sum{n=0}^{5} an x^n = 0 em que a soma das raízes é igual a -2 e os coeficientes a0, a1, a2, a3, a4 e a5 formam, nesta ordem, uma…

Sabe-se que (x + 2y, 3x - 5y, 8x - 2y, 11x - 7y + 2z) é uma progressão aritmética com o último termo igual a -127. Então, o produto xyz é igual a

Considere a equação algébrica \sum{k=1}^{3}(x - ak)^{4-k} = 0. Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a1, a2, a3) é uma progressão geométrica com …

Considere a progressão aritmética (a1, a2, ..., a{50}) de razão d. Se \sum{n=1}^{10} an = 10 + 25d e \sum{n=1}^{50} an = 4550, então d - a1 é igual a

Se as soluções da equação algébrica 2x^3 - ax^2 + bx + 54 = 0, com coeficientes a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, formam, numa determinada ordem, uma pr…

Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a 2 e o …