📐 Questões de Matemática do ITA

Considere as seguintes afirmações: I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas. II. Em todo polie…

Considere as seguintes afirmações: I. Sejam \pi1, \pi2 e \pi3 três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas r, s e t. Se r…

Considere o conjunto M(n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n \times n, com exatamente k elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero)…

Determine os valores reais de a e b para os quais as equações x^3+ax^2+18=0 e x^3+bx+12=0 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas r…

Determine todas as soluções da equação \operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = \dfrac{7}{12}.

Determine o número complexo z de menor argumento que satisfaz |z-25i| \leq 15.

Sabendo que x pertence ao intervalo fechado [1, 64], determine o maior valor da função f(x) = (\log2 x)^4 + 12(\log2 x)^2 \cdot \log2\left(\frac{8}{x…

Seja F o foco da parábola de equação (y-5)^2 = 4(x-7), e sejam A e B os focos da elipse de equação \dfrac{(x-4)^2}{9} + \dfrac{(y-2)^2}{8} = 1. Deter…

Sejam a, b e c três números reais em progressão aritmética crescente, satisfazendo \cos a + \cos b + \cos c = 0 \qquad \text{e} \qquad \operatorname{…

Um número natural n, escrito na base 10, tem seis dígitos, sendo 2 o primeiro. Se movermos o dígito 2 da extrema esquerda para a extrema direita, sem…

Um cone circular reto, de altura h, e um cilindro circular reto têm bases de mesmo raio. O volume do cone é metade do volume do cilindro, e a área la…

Sejam A, B, C os vértices de um triângulo. Determine \operatorname{sen}\hat{B}, sabendo que \operatorname{sen}(\hat{A}+\hat{B}) = \frac{4}{5} = \oper…

Escolhem-se aleatoriamente três números distintos no conjunto \{1, 2, 3, \ldots, 29, 30\}. Determine a probabilidade da soma desses três números ser …

Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM.…

Seja p(x) = x^3 + ax^2 + bx um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é i…

Seja \gamma a circunferência de equação x^2 + y^2 = 4. Se r e s são duas retas que se interceptam no ponto P = (1,3) e são tangentes a \gamma, então …

A superfície lateral de um cone circular reto corresponde a um setor circular de 216°, quando planificada. Se a geratriz do cone mede 10 cm, então a …

Assinale a opção que identifica o lugar geométrico de todos os pares ordenados (a,b) \in \mathbb{R}^2 que tornam impossível o sistema linear S: \begi…

Sabe-se que -2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raí…

Considere as seguintes afirmações: I. se n é um número natural, então \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2}. II. se …

As faces de dez moedas são numeradas de modo que: a primeira moeda tem faces 1 e 2; a segunda, 2 e 3; a terceira, 3 e 4, e assim sucessivamente até a…

Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes A de ordem n \times n inversíveis, tais que os seus elementos e os de sua inversa sejam todo…

Seja f : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] a função definida por f(x) = \arcsen(x). Então, a soma \sum{n=0}^{4} f\left(\cos \fra…

Os volumes de um tronco de cone, de uma esfera de raio 5 cm e de um cilindro de altura 11 cm formam nessa ordem uma progressão aritmética. O tronco d…

Considere as seguintes afirmações: I. se x1, x2 e x3 são as raízes da equação x^3 - 2x^2 + x + 2 = 0, então y1 = x2x3, y2 = x1x3 e y3 = x1x2 são as r…

Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB = 3 cm, BC = 7 cm e CA = 8 cm. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado \overli…

Se x é um número real que satisfaz x^3 = x + 2, então x^{10} é igual a

Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão \frac{1}{2} e o termo in…

Considere as funções f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d \in \mathbb{R}, a \neq 0 e c \neq 0. Se…

Sejam x1, \ldots, x5 e y1, \ldots, y5 números reais arbitrários e A = (a{ij}) uma matriz 5 \times 5 definida por a{ij} = xi + yj, 1 \leq i, j \leq 5.…