📐 Questões de Matemática do ITA

Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 13 pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m n. Com os pontos são formados todos os triângulos e qu…

Considere a definição: duas circunferências são ortogonais quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendi…

As raízes do polinômio 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 + z^7, quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo c…

Se \log2 \pi = a e \log5 \pi = b, então

O lugar geométrico das soluções da equação x^2 + bx + 1 = 0, quando |b| < 2, b \in \mathbb{R}, é representado no plano complexo por

Em um triângulo de vértices A, B e C são dados \hat{B} = \pi/2, \hat{C} = \pi/3 e o lado BC = 1 cm. Se o lado \overline{AB} é o diâmetro de uma circu…

Com relação à equação \frac{\operatorname{tg}^3x - 3\operatorname{tg}x}{1 - 3\operatorname{tg}^2x} + 1 = 0, podemos afirmar que

Sejam A e B matrizes quadradas n \times n tais que A + B = A \cdot B e In a matriz identidade n \times n. Das afirmações: I. In - B é inversível; II.…

Se o sistema \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2a^2 y + (2a^4 - a)z = 0 \\ x + ay + (a^3 - 1)z = 0 \end{cases} admite infinitas soluções, então os possí…

Considere a matriz \begin{bmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 3 & 4 & 5 \\ -2 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}, x \in \mathbb{R}. Se o polin…

Considere a classificação: dois vértices de um paralelepípedo são não adjacentes quando não pertencem à mesma aresta. Um tetraedro é formado por vért…

Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum \overline{AB}. Seja M o ponto médio de \overline{AB} e N o ponto médio de \overline{CD}. Se MN = C…

Uma progressão aritmética (a1, a2, \ldots, an) satisfaz a propriedade: para cada n \in \mathbb{N}, a soma da progressão é igual a 2n^2 + 5n. Nessas c…

São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bo…

Para que o sistema \begin{cases} x + y = 1 \\ x^3 + y^3 = c^2 \end{cases} admita apenas soluções reais, todos os valores reais de c pertencem ao conj…

Um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. Sabe-se que o número de arestas, o número de faces triangulares e o número de faces quad…

Encontre o conjunto solução S \subset \mathbb{R} da inequação exponencial: 3^{x-2} + \displaystyle\sum{k=1}^{4} 3^{x+k} \le \dfrac{1081}{18}.

No plano cartesiano são dadas as circunferências C1 : x^2+y^2 = 1 e C2 : (x-4)^2+y^2 = 4. Determine o centro e o raio de uma circunferência C tangent…

Seja z = \cos\dfrac{\pi}{7} + i\,\mathrm{sen}\dfrac{\pi}{7}. Pedem-se: a) Use a propriedade z^k = \cos\dfrac{k\pi}{7} + i\,\mathrm{sen}\dfrac{k\pi}{7…

Uma reta r separa um plano \pi em dois semiplanos \pi1 e \pi2. Considere pontos A e B tais que A \in \pi1 e B \in \pi2 de modo que d(A, r) = 3, d(B, …

De uma caixa que contém 10 bolas brancas e 6 bolas pretas, são selecionadas ao acaso k bolas. a) Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam…

Quantos pares de números inteiros positivos (A, B) existem cujo mínimo múltiplo comum é 126 \times 10^3? Para efeito de contagem, considerar (A, B) \…

A aresta lateral de uma pirâmide reta de base quadrada mede 13 cm e a área do círculo inscrito na base mede \dfrac{25\pi}{2}\ \mathrm{cm}^2. Dois pla…

Seja p(x) um polinômio não nulo. Se x^3 - 4x^2 + 5x - 2 e x^3 - 5x^2 + 8x - 4 são divisores de p(x), determine o menor grau possível de p(x).

No plano cartesiano são dados o ponto P = (0, 3) e o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 0) e C = (3, 2). Determine um ponto N sobre o eixo dos…

Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X \subset Y e X \neq Y. Considere as seguintes afirmações: I. Existe uma bijeção f : X \to Y. II. Existe uma f…

O número de soluções da equação (1 + \sec\theta)(1 + \cossec\theta) = 0, com \theta \in [-\pi, \pi], é

Sejam a, b, c, d \in \mathbb{R}. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d - 140 formem, nesta ordem…

O maior valor de \text{tg } x, com x = \frac{1}{2}\arcsen(\frac{3}{5}) e x \in [0, \frac{\pi}{2}], é

Considere a reta r: y = 2x. Seja A = (3,3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida em r. A área deste quadrado é