📐 Questões de Matemática do ITA

Seja A uma matriz real quadrada de ordem 2 tal que A\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & x\\y & 0\end{pmatrix} e A\begin{pma…

O número de triângulos, dois a dois não congruentes, de perímetro 87, cujos lados, dispostos em ordem crescente de comprimento, são números inteiros …

Seja ABCD um quadrilátero convexo com diagonais \overline{AC} e \overline{BD}. Considere as afirmações: I. Se as diagonais \overline{AC} e \overline{…

Considere as seguintes afirmações: I. Se a medida do ângulo agudo entre uma reta r e um plano \alpha é 45°, então existe uma reta s contida em \alpha…

Um dodecaedro regular tem 12 faces que são pentágonos regulares. Escolhendo-se 2 vértices distintos desse dodecaedro, a probabilidade de eles pertenc…

Pretende-se distribuir 48 balas em 4 tigelas designadas pelas letras A, B, C e D. De quantas maneiras pode-se fazer essa distribuição de forma que to…

Seja z \in \mathbb{C}. Se a representação dos números 4, z + 2 e z^2 no plano complexo são vértices de um triângulo equilátero, então o comprimento d…

Seja p(x) um polinômio com coeficientes inteiros tal que p(51) = 391 e 0 \leq p(3) < 12. Então, p(3) é igual a:

Seja \lambda a circunferência que passa pelos pontos P = (1, 1), Q = (13, 1) e R = (7, 9). Determine: a) A equação de \lambda. b) Os vértices do quad…

Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de ca…

Dizemos que um número natural n é um cubo perfeito se existe um número natural a tal que n = a^3. Determine o subconjunto dos números primos que pode…

Sejam a e b dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais k para os quais a reta y = kx intersecta a parábola y = x^2 + ax + b é igual…

Considere a função f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x) = x^6 - 10x^4 - 4x^3 + 25x^2 + 20x + 28. a) Determine dois números reais \alpha e …

Seja z \in \mathbb{C} uma raiz da equação 4z^2 - 4z\,\operatorname{sen}\alpha + 1 = 0, para \alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]. …

Seja H o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio p(x) = (x - \sqrt{3})^6 + 64. Determine z \in \mathbb{C} sabendo…

Considere a circunferência \lambda de centro O passando por um ponto A. Sejam B um ponto tal que A é o ponto médio de \overline{OB} e M um ponto de \…

Determine todos os números inteiros k entre 0 e 200 para os quais o polinômio pk(x) = x^3 - x^2 - k possui uma única raiz inteira. Para cada um desse…

Considere uma pirâmide reta P cuja base é um hexágono regular de lado l. As faces laterais dessa pirâmide formam um ângulo diedro de 75^\circ com a b…

Sejam x1, x2, x3, x4, x5 e x6 números reais tais que 2^{x1} = 4; 3^{x2} = 5; 4^{x3} = 6; 5^{x4} = 7; 6^{x5} = 8 e 7^{x6} = 9. Então, o produto x1 x2 …

Sejam a, b e c números reais, a \neq 0, tais que a^2 + b^2 = c^2. Se a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão k, então o prod…

A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral an é dado por an = \frac{\cos n + i \cdot \sen n}{2^n}, \quad n = 1, 2, 3, \l…

Duas curvas planas c1 e c2 são definidas pelas equações c1: 16x^2 + 9y^2 - 224x - 72y + 640 = 0, c2: x^2 + y^2 + 4x - 10y + 13 = 0. Sejam P e Q os po…

A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado ap…

Seja A um ponto externo a uma circunferência \lambda de centro O e raio r. Considere uma reta passando por A e secante a \lambda nos pontos C e D tal…

Seja a um número real satisfazendo 0 < a < \frac{\pi}{2}. Então, a soma de todos os valores de x \in [0, 2\pi] que satisfazem a equação \cos x \sen(a…

Considere o polinômio p(x) = x^3 - mx^2 + x + 5 + n, sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz z = a + bi, com a, b \in \mathbb{R}, da …

A expansão decimal do número 100! = 100 \cdot 99 \cdots 2 \cdot 1 possui muitos algarismos iguais a zero. Contando da direita para a esquerda, a part…

Seja p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que: I. p(x) é divisível por x^2 - 4; II. a soma das raízes de p…

Os pontos B = (1, 1 + 6\sqrt{2}) e C = (1 + 6\sqrt{2}, 1) são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o rai…

Dado a \in \mathbb{R}, defina p = a + a^2 e q = a + a^3 e considere as seguintes afirmações: I. se p ou q é irracional, então a é irracional. II. se …