📐 Questões de Matemática do ITA

A divisão de um polinômio f(x) por (x - 1)(x - 2) tem resto x + 1. Se os restos das divisões de f(x) por x - 1 e x - 2 são, respectivamente, os númer…

Sabendo que a equação X^3 - pX^2 = q^m, \quad p, q 0, \quad q \neq 1, \quad m \in \mathbb{N}, possui três raízes reais positivas a, b e c, então \log…

Dada a função quadrática f(x) = x^2 \ln\frac{2}{3} + x \ln 6 - \frac{1}{4} \ln\frac{3}{2} temos que

Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c?

O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: “Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança,…

Seja a matriz \begin{bmatrix} \cos 25^\circ & \operatorname{sen} 65^\circ \\ \operatorname{sen} 120^\circ & \cos 390^\circ \end{bmatrix}. O valor de …

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B. Então, \left[(A + B)^t\right]^2 é igual a

Seja A uma matriz real 2 \times 2. Suponha que \alpha e \beta sejam dois números distintos, e V e W duas matrizes reais 2 \times 1 não-nulas, tais qu…

O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo \dfrac{20}{\pi} cm, cujo ângulo oposto é de 15^\circ. O comprimento da circunferên…

Num sistema de coordenadas cartesianas, duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e \dfrac{1}{2}, respectivamente, se interceptam na origem 0. S…

Seja k 0 tal que a equação \left(x^2 - x\right) + k\left(y^2 - y\right) = 0 define uma elipse com distância focal igual a 2. Se (p, q) são as coorden…

Considere a região do plano cartesiano xy definida pela desigualdade x^2 + 4x + y^2 - 4y - 8 \leq 0. Quando esta região rodar um ângulo de \dfrac{\pi…

Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o vo…

Seja a função f dada por f(x) = (\log3 5) \cdot \log5 8^{x-1} + \log3 4^{1+2x-x^2} - \log3 2^{x(3x+1)}. Determine todos os valores de x que tornam f …

Mostre que \left(\frac{x}{y} + 2 + \frac{y}{x}\right)^4 C{8,4}, para quaisquer x e y reais positivos. Obs.: C{n,p} denota a combinação de n elementos…

Com base no gráfico da função polinomial y = f(x) esboçado abaixo, responda qual é o resto da divisão de f(x) por \left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 1).

Sejam a e b dois números complexos não-nulos, tais que a^2 + b^2 = 0. Se Z, W \in C satisfazem a \begin{cases} \bar{z}\,w + z\,\bar{w} = 6a \\ \bar{z…

1. Mostre que se uma matriz quadrada não–nula A satisfaz a equação A^3 + 3A^2 + 2A = 0 \qquad (1) então (A + I)^3 = A + I, em que I é a matriz identi…

Sejam n \geq 2 números reais positivos a1, a2, \ldots an que formam uma progressão aritmética de razão positiva. Considere An = a1 + a2 + \ldots + an…

Considere n pontos distintos A1, A2, \ldots An sobre uma circunferência de raio unitário, de forma que os comprimentos dos arcos \overset{\frown}{A1A…

Seja S a área total da superfície de um cone circular reto de altura h, e seja m a razão entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha uma exp…

Considere o seguinte raciocínio de cunho cartesiano: “Se a circunferência de centro C = (h, 0) e raio r intercepta a curva y = +\sqrt{x}, x 0, no pon…

Se x, y e z são os ângulos internos de um triângulo ABC e \operatorname{sen} x = \frac{\operatorname{sen} y + \operatorname{sen} z}{\cos y + \cos z},…