📐 Questões de Matemática do ITA

Sabe-se que (x + 2y, 3x - 5y, 8x - 2y, 11x - 7y + 2z) é uma progressão aritmética com o último termo igual a -127. Então, o produto xyz é igual a

Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que -2i e i - \sqrt{3} são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo…

Um triângulo ABC tem lados com medidas a = \frac{\sqrt{3}}{2} cm, b = 1 cm e c = \frac{1}{2} cm. Uma circunferência é tangente ao lado a e também aos…

Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância,…

A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r : x - 3y + 3 = 0 e s : 3x + y - 21 = 0, em unidades de área, é igual a

Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar geométrico dos pontos que se encontram a uma distância d = 2 da bissetriz interna, por A…

Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: I. (A \setminus B^C) \setminus C^C = A \cap (B \cup C); II. (A \setminus B^C) …

Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-vazios, tais que n(P(A) \cup P(B)) + 1 = n(P(A \cup B)). Então, a diferença n(A) - n(B) pod…

Considere um número real a \neq 1 positivo, fixado, e a equação em x a^{2x} + 2\beta a^x - \beta = 0, \beta \in \mathbb{R} Das afirmações: I : Se \be…

Seja S = \left\{x \in \mathbb{R} \mid \arcsen\left(\frac{e^{-x} - e^x}{2}\right) + \arccos\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\right\}…

Seja x \in [0, 2\pi] tal que \sen(x)\cos(x) = \frac{2}{5}. Então, o produto e a soma de todos os possíveis valores de \operatorname{tg}(x) são, respe…

A soma \sum{k=0}^n \cos(\alpha + k\pi), para todo \alpha \in [0, 2\pi], vale

Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz \frac{2\sqrt{3}}{3} cm é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um …

A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120° e área igual a 3\pi cm². A área total e o volume deste cone medem, em cm² e…

Dez cartões estão numerados de 1 a 10. Depois de embaralhados, são formados dois conjuntos de 5 cartões cada. Determine a probabilidade de que os núm…

Determine os valores reais de x de modo que \operatorname{sen}(2x) - \sqrt{3}\cos(2x) seja máximo.

Considere a matriz quadrada A em que os termos da diagonal principal são 1, 1 + x1, 1 + x2, \ldots, 1 + xn e todos os outros termos são iguais a 1. S…

Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz A = \begin{bmatrix} n & \log2 2 & -\log2 \dfrac{1}{2} \\[2mm] n+5 & \log3 3^n & \log3 …

Em um plano estão situados uma circunferência \omega de raio 2 cm e um ponto P que dista 2\sqrt{2} cm do centro de \omega. Considere os segmentos \ov…

As interseções das retas r: x - 3y + 3 = 0, s: x + 2y - 7 = 0 e t: x + 7y - 7 = 0, duas a duas, respectivamente, definem os vértices de um triângulo …

Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemát…

Analise se f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \begin{cases} 3 + x^2, & x \geq 0 \\ 3 - x^2, & x < 0 \end{cases} é bijetora e, em caso afirmativo, e…

Determine os valores de \theta \in [0, 2\pi] tais que \log{\operatorname{tg}(\theta)} e^{\operatorname{sen}(\theta)} \geq 0.

As retas r1 e r2 são concorrentes no ponto P, exterior a um círculo \omega. A reta r1 tangencia \omega no ponto A e a reta r2 intercepta \omega nos p…

Dado z = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{3}i), então \sum{n=1}^{89} z^n é igual a

Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e z2: I - |z1 - z2| \leq ||z1| - |z2||. II - |\overline{z1} \cdot z2| = ||\overline{z2}| \cdot |\ove…

A soma de todas as soluções da equação em \mathbb{C}: z^2 + |z|^2 + iz - 1 = 0 é igual a

Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A \subset B e n(\{C : C \subset B \setminus A\}) = 128. Então, das afirmações abaixo: I - n(B) - …

O sistema \begin{cases} x + 2y + 3z = a \\ y + 2z = b \\ 3x - y - 5cz = 0 \end{cases}

Considere as afirmações abaixo: I - Se M é uma matriz quadrada de ordem n 1, não-nula e não-inversível, então existe matriz não-nula N, de mesma orde…