📐 Questões de Matemática do ITA

Para os inteiros positivos k e n, com k \leq n, sabe-se que \frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k} = \binom{n+1}{k+1}. Então, o valor de \binom{n}{0} + \frac{1}…

Considere as seguintes afirmações sobre as matrizes quadradas A e B de ordem n, com A inversível e B antissimétrica: I. Se o produto AB for inversíve…

Sejam A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ y & -x & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} x+1 & x \\ y-2 & y \\ z+3 & z \end{bmatrix} matrizes reais tai…

Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade \det(2M^2) - \det(\sqrt[3]{2}\,M^3) = \frac{2}{9}\det(3M). Então, um valo…

Considere a equação A(t)X = B(t), t \in \mathbb{R}, em que A(t) = \begin{bmatrix} 2e^{-2t} & -e^{2t} & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 2 \end{bmatrix}, …

Considere o polinômio complexo p(z) = z^4 + a z^3 + 5 z^2 - i z - 6, em que a é uma constante complexa. Sabendo que 2i é uma das raízes de p(z) = 0, …

Sabendo que \sen x = \frac{2ab}{a^2 + b^2}, a \neq 0 e b \neq 0, um possível valor para \cossec 2x - \frac{1}{2} \operatorname{tg} x é

Considere o triângulo ABC retângulo em A. Sejam \overline{AE} e \overline{AD} a altura e a mediana relativa à hipotenusa \overline{BC}, respectivamen…

Seja ABC um triângulo de vértices A = (1,4), B = (5,1) e C = (5,5). O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimen…

Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48 \, cm^2, a razão entre as medidas da altura \overline{AP} e da base \overline{BC} é igual a \frac{2}…

Considere o trapézio ABCD de bases \overline{AB} e \overline{CD}. Sejam M e N os pontos médios das diagonais \overline{AC} e \overline{BD}, respectiv…

Uma pirâmide de altura h = 1 \, cm e volume V = 50 \, cm^3 tem como base um polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices do polígono traç…

A equação do círculo localizado no 1^o quadrante que tem área igual a 4\pi (unidades de área) e é tangente, simultaneamente, às retas r : 2x - 2y + 5…

Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base \overline{BC} que dista 0,25 \…

Considere as funções f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = e^{\alpha x}, em que \alpha é uma constante real positiva, e g : [0,\ \infty[\ \to \mathbb…

Determine as soluções reais da equação em x, \left(\log4 x\right)^3 - \log4\left(x^4\right) - 3\,\dfrac{\log{10} 16x}{\log{100} 16} = 0.

a) Determine o valor máximo de |z + i|, sabendo que |z - 2| = 1, z \in \mathbb{C}. b) Se zo \in \mathbb{C} satisfaz (a), determine zo.

Seja \Omega o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis do lançamento simultâneo de três dados. Se A \subset \Omega é o evento par…

Determine quantos paralelepípedos retângulos diferentes podem ser construídos de tal maneira que a medida de cada uma de suas arestas seja um número …

Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z \left\{\begin{array}{rcrcrcl} x & + & y & + & 2z & = & 0 \\ -x & + & (\operatorname{sen}\theta)\, …

Determine o conjunto de todos os valores de x \in [0, 2\pi] que satisfazem, simultaneamente, a \frac{2\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen} x -…

Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices de um hexágono regular d…

Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r1, r2 e r3 destas circunferências constituem, nesta ord…

Um cilindro reto de altura h = 1\ cm tem sua base no plano xy definida por x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 \leq 0. Um plano, contendo a reta y - x = 0 e para…

Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: I. A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C); II. (A \cap …

A soma das raízes da equação em \mathbb{C}, z^8 - 17z^4 + 16 = 0, tais que z - |z| = 0, é

Considere a equação em \mathbb{C}, (z - 5 + 3i)^4 = 1. Se z0 é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então o…

A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação 8^{\sqrt{x+1}} + 44\left(2^{\sqrt{x+1}}\right) + 64 = 19\left(4^{\sqrt{x+1}}\right) é igu…

Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações \sqrt{a\sqrt{b}} = \frac{1}{2} \quad \text{e} \quad \ln(a^2 + b) + \ln 8 = \ln 5, …

Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por f(x) = e^{x^2+ax+b} \quad \text{e} \quad g(x) = \ln\left(\frac{ax}{3b…