📐 Questões de Matemática do ITA

Seja k \in \mathbb{R} tal que a equação 2x^3 + 7x^2 + 4x + k = 0 possua uma raiz dupla e inteira x1 e uma raiz x2, distinta de x1. Então, (k + x1)x2 …

Considere o conjunto S = \{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : a + b = 18\}. A soma de todos os números da forma \dfrac{18!}{a!\,b!}, \forall\,…

O número de divisores (positivos) de 17\,640 que, por sua vez, são divisíveis por 3 é:

Sejam A e P matrizes n \times n inversíveis e B = P^{-1}AP. Das afirmações: I. B^T é inversível e \left(B^T\right)^{-1} = \left(B^{-1}\right)^T. II. …

O número de todos os valores de a \in [0, 2\pi], distintos, para os quais o sistema nas incógnitas x, y e z, dado por \left\{\begin{array}{rcl} -4x +…

Para todo x \in \mathbb{R}, a expressão [\cos(2x)]^2\,[\operatorname{sen}(2x)]^2 \operatorname{sen} x é igual a:

Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno como sendo \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] e [0, \pi], respectivamente.…

Considere a família de circunferências com centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox em do…

A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 3x^2 + 2y^2 +…

Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5\ \mathrm{cm}. Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando 4\ \mathrm{cm} de r. A …

Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se q…

Considere o triângulo isósceles OAB, com lados \overline{OA} e \overline{OB} de comprimento \sqrt{2}\,R e lado \overline{AB} de comprimento 2R. O vol…

Considere uma pirâmide regular de altura igual a 5\ \mathrm{cm} e cuja base é formada por um quadrado de área igual a 8\ \mathrm{cm}^2. A distância d…

Sejam U um conjunto não-vazio e A \subset U, B \subset U. Usando apenas as definições de igualdade, reunião, intersecção e complementar, prove que: I…

Determine o conjunto dos números complexos z para os quais o número \omega = \frac{z + \bar{z} + 2}{\sqrt{|z - 1| + |z + 1| - 3}} pertence ao conjunt…

Considere a seguinte situação baseada num dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaru…

Mostre que toda função f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par.

Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo que a divisão de P1(x) = x^4 + ax^2 + b por P2(x) = x^2 + 2x + 4 é exata, e que a divisão de P3(x) = x^3 …

Sejam a, b, c e d números reais não-nulos. Exprima o valor do determinante da matriz \begin{bmatrix} bcd & 1 & a & a^2 \\ acd & 1 & b & b^2 \\ abd & …

Encontre todos os valores de a \in \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[ para os quais a equação na variável real x, \operatorname{arctg}\left…

Sabe-se que uma elipse de equação \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 tangencia internamente a circunferência de equação x^2 + y^2 = 5 e que a re…

Considere um quadrado ABCD. Sejam E o ponto médio do segmento \overline{CD} e F um ponto sobre o segmento \overline{CE} tal que m(\overline{BC}) + m(…

Quatro esferas de mesmo raio R 0 são tangentes externamente duas a duas, de forma que seus centros formam um tetraedro regular com arestas de comprim…

Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos: I. Se x 4 e y < 2, então x^2 - 2y 12. II. Se x 4 ou y < 2, então x^2 - 2y 12. III. S…

Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c 0. Sendo par a função dada por f(x) = \frac{ax + b}{x + c}, \quad -c < x < c, então f(x), para -c < x < …

Os valores de x \in \mathbb{R}, para os quais a função real dada por f(x) = \sqrt{5 - \big|\,|2x - 1| - 6\,\big|} está definida, formam o conjunto

Seja a equação em \mathbb{C} z^4 - z^2 + 1 = 0. Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas das raízes dessa equação?

Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A \cup B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P(B \setminus A) \cup P(\…

Sejam f e g duas funções definidas por f(x) = \left(\sqrt{2}\right)^{3\operatorname{sen} x - 1} \quad \text{e} \quad g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^…

Seja f : \mathbb{R} \to P(\mathbb{R}) dada por f(x) = \{y \in \mathbb{R};\ \operatorname{sen} y < x\}. Se A é tal que f(x) = \mathbb{R},\ \forall x \…