📐 Questões de Matemática do ITA

Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio 1 cm. O seu maior lado mede 2 cm e sua área é de \frac{1}{\sqrt{2}} cm². Então, o menor lado d…

Se o sistema de equações \begin{cases} x + y + 4z = 2 \\ x + 2y + 7z = 3 \\ 3x + y + az = b \end{cases} é impossível, então os valores de a e b são t…

Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x^2 + y^2 = 4 e à reta y = 2(1 - x), então o valor do cosseno do ângulo POQ é igual a

Um triângulo retângulo tem perímetro igual a \ell\sqrt{5}, em que \ell é o comprimento da hipotenusa. Se \alpha e \beta são seus ângulos agudos, com …

Se M = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} e N = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, então MN^T - M^{-1}N é igual a

Considere as afirmações a seguir: I. Se z e w são números complexos tais que z - iw = 1 - 2i e w - z = 2 + 3i, então z^2 + w^2 = -3 + 6i. II. A soma …

Sejam \lambda uma circunferência de raio 4 cm e PQ uma corda em \lambda de comprimento 4 cm. As tangentes a \lambda em P e em Q interceptam-se no pon…

Se a reta de equação x = a divide o quadrilátero cujos vértices são (0, 1), (2, 0), (4, 0) e (6, 4) em duas regiões de mesma área, então o valor de a…

Seja p o polinômio dado por p(x) = x^8 + x^m - 2x^n, em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos …

Seja ABC um triângulo equilátero e suponha que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que BM = MN = NC. Sendo \alpha a medida, em radianos, do…

Uma esfera S1, de raio R 0, está inscrita num cone circular reto K. Outra esfera, S2, de raio r, com 0 < r < R, está contida no interior de K e é sim…

Considere o polinômio p com coeficientes complexos definido por p(z) = z^4 + (2 + i)z^3 + (2 + i)z^2 + (2 + i)z + (1 + i). Podemos afirmar que

Pintam-se N cubos iguais utilizando-se 6 cores diferentes, uma para cada face. Considerando que cada cubo pode ser perfeitamente distinguido dos dema…

Em um triângulo equilátero ABC de lado 2, considere os pontos P, M e N pertencentes aos lados AB, BC e AC, respectivamente, tais que a) P é o ponto m…

Seja f a função definida por f(x) = \log{x+1}(x^2 - 2x - 8). Determine: a) O domínio Df da função f. b) O conjunto de todos os valores de x \in Df ta…

Sejam x e y pertencentes ao intervalo [0, \pi]. Determine todos os pares ordenados (x, y) tais que \begin{cases} \sqrt{2}\cos x - \operatorname{sen} …

Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferências de raios RH e RT, respectivamente. Sabendo-se que H e T …

Seja A a matriz de ordem 3 \times 2, dada por A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}. a) Determine todas as matrizes B tais que BA…

Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: N, S, L e O. Ao retirar …

Sejam S um subconjunto de \mathbb{R}^2 e P = (a, b) um ponto de \mathbb{R}^2. Define-se distância de P a S, d(P, S), como a menor das distâncias d(P,…

Sejam a, b, c números reais com a \neq 0. a) Mostre que a mudança x + \dfrac{1}{x} = z transforma a equação ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 numa equa…

Considere as circunferências \lambda1 : x^2 + y^2 - 8x + 4y = 20 e \lambda2 : x^2 + y^2 - 2x - 8y = 8. O triângulo ABC satisfaz as seguintes propried…

Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio (1 + x + x^2)^{40} por (1 + x)^3.

Em um cone circular reto de altura 1 e raio da base 1 inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o vértice opo…

Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional. II. \sum{n…

Sejam A, B e C os subconjuntos de \mathbb{C} definidos por A = \{z \in \mathbb{C} : |z + 2 - 3i| < \sqrt{19}\}, B = \{z \in \mathbb{C} : |z + i| < 7/…

Se z = \left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{1 - \sqrt{3}i}\right)^{10}, então o valor de 2 \arcsen(\text{Re}(z)) + 5 \arctg(2 \text{Im}(z)) é igual a

Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x + 4y - 4 = 0 e s : 3x + 4y - 19 = 0. A área do círculo determinado por C é igual a

Seja (a1, a2, a3, \ldots) a sequência definida da seguinte forma: a1 = 1, a2 = 1 e an = a{n-1} + a{n-2} para n \geq 3. Considere as afirmações a segu…

Considere a equação \frac{a}{1-x^2} - \frac{b}{x-1/2} = 5, com a e b números inteiros positivos. Das afirmações: I. Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é u…