📐 Questões de Matemática do ITA

Sabe-se que o polinômio p(x) = x^5 - a x^3 + a x^2 - 1, a \in \mathbb{R}, admite a raiz -i. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p: I…

Um polinômio real p(x) = \sum{n=0}^{5} an x^n, com a5 = 4, tem três raízes reais distintas, a, b e c, que satisfazem o sistema \begin{cases} a + 2b +…

Considere o polinômio p(x) = \sum{n=0}^{15} an x^n com coeficientes a0 = -1 e an = 1 + i a{n-1}, n = 1, 2, ..., 15. Das afirmações: I. p(-1) \notin \…

A expressão \left(2\sqrt{3} + \sqrt{5}\right)^5 - \left(2\sqrt{3} - \sqrt{5}\right)^5 é igual a

Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para …

Considere a matriz A = \begin{bmatrix} a1 & a2 & a3 \\ 0 & a4 & a5 \\ 0 & 0 & a6 \end{bmatrix} \in M{3 \times 3}(\mathbb{R}), em que a4 = 10, \det A …

Sobre os elementos da matriz A = \begin{bmatrix} x1 & x2 & x3 & x4 \\ y1 & y2 & y3 & y4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \in M{4 \time…

O valor da soma \sum{n=1}^{6} \sen\left(\frac{2\alpha}{3^n}\right) \sen\left(\frac{\alpha}{3^n}\right), para todo \alpha \in \mathbb{R}, é igual a

Se os números reais \alpha e \beta, com \alpha + \beta = \frac{4\pi}{3}, 0 \leq \alpha \leq \beta, maximizam a soma \sen\alpha + \sen\beta, então \al…

Considere as circunferências C1: (x-4)^2+(y-3)^2 = 4 e C2: (x-10)^2+(y-11)^2 = 9. Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2, isto é, r tangencia C1 …

Um cilindro reto de altura \frac{\sqrt{6}}{3} cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do t…

Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano xOy, sendo B = (2, 1) e C = (5, 5). Das seguintes afirmações: I. A se encontra s…

Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm. Se M é o ponto médio do segmento AB e N é o ponto médio do segmento C…

Sejam A, B e C conjuntos tais que C \subset B, n(B \setminus C) = 3n(B \cap C) = 6n(A \cap B), n(A \cup B) = 22 e (n(C),\, n(A),\, n(B)) é uma progre…

A progressão geométrica infinita (a1,\, a2,\, ...,\, an,\, ...) tem razão r < 0. Sabe-se que a progressão infinita (a1,\, a6,\, ...,\, a{5n+1},\, ...…

Analise se a função f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \dfrac{3^x - 3^{-x}}{2} é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função invers…

Seja f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa f^{-1} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} também é ímpar.

Considere o polinômio p(x) = \displaystyle\sum{n=0}^{6} an x^n, com coeficientes reais, sendo a0 \neq 0 e a6 = 1. Sabe-se que se r é raiz de p, -r ta…

Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de 1 a 90, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais. a) Retira…

Considere as matrizes A \in M{4\times 4}(\mathbb{R}) e X, B \in M{4\times 1}(\mathbb{R}): A = \begin{bmatrix} a & 1 & b & 1 \\ b & 1 & a & 0 \\ 0 & 2…

Considere a equação (3 - 2\cos^2 x)\left(1 + \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}\right) - 6\operatorname{tg} \dfrac{x}{2} = 0. a) Determine todas as sol…

Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são A = (1, 1), B = (1, 7) e C = (5, 4) no plano xOy.

As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da intersecção os respectivos planos tangentes são perpendiculare…

Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}. Sabendo que (B^C \cup A)^C = \{f, g, h\}, B^C \cap A = \{a, b\} e A^C \…

Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor "flex" (que funciona com álcool e com gasolina). Numa det…

Seja f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\backslash\{0\} uma função satisfazendo às condições: f(x + y) = f(x)f(y), para todo x, y \in \mathbb{R…

Se a = \cos \frac{\pi}{5} e b = \sen \frac{\pi}{5}, então, o número complexo \left(\cos \frac{\pi}{5} + i \sen \frac{\pi}{5}\right)^{54} é igual a

O polinômio de grau 4 (a + 2b + c)x^4 + (a + b + c)x^3 - (a - b)x^2 + (2a - b + c)x + 2(a + c), com a, b, c \in \mathbb{R}, é uma função par. Então, …

Considere as funções f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 1 e g(x) = x^2 - 2x + 1. A multiplicidade das raízes não reais da função composta f \circ g é igual a

Suponha que os coeficientes reais a e b da equação x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0 são tais que a equação admite solução não real r com |r| \neq 1. Da…