📐 Questões de Matemática do ITA

Se as soluções da equação algébrica 2x^3 - ax^2 + bx + 54 = 0, com coeficientes a, b \in \mathbb{R}, b \neq 0, formam, numa determinada ordem, uma pr…

Dados A \in M{3 \times 2}(\mathbb{R}) e b \in M{3 \times 1}(\mathbb{R}), dizemos que X0 \in M{2 \times 1}(\mathbb{R}) é a melhor aproximação quadráti…

O sistema \begin{cases} a1x + b1y = c1 \\ a2x + b2y = c2 \end{cases} , a1, a2, b1, b2, c1, c2 \in \mathbb{R}, com (c1, c2) \neq (0, 0), a1c1 + a2c2 =…

Seja A \in M{2 \times 2}(\mathbb{R}) uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a{11}, a{12} e a{22} formam, nesta ordem, uma prog…

Um certo exame de inglês é utilizado para classificar a proficiência de estrangeiros nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês, 7…

Considere o triângulo ABC de lados a = \overline{BC}, b = \overline{AC} e c = \overline{AB} e ângulos internos \alpha = C\widehat{A}B, \beta = A\wide…

No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t : x = 1 e ao ponto A = (3, 2) é igual a 4. En…

Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = 2 cm, sabe-se que o lado BC mede 2 cm e o ângulo interno A\hat{B}C mede…

A distância entre o vértice e o foco da parábola de equação 2x^2 - 4x - 4y + 3 = 0 é igual a

A expressão \frac{2\left[\operatorname{sen}\left(x + \dfrac{11}{2}\pi\right) + \cotg^2 x\right] \tg\dfrac{x}{2}}{1 + \tg^2\dfrac{x}{2}} é equivalente…

Sejam C uma circunferência de raio R 4 e centro (0, 0) e \overline{AB} uma corda de C. Sabendo que (1, 3) é ponto médio de \overline{AB}, então uma e…

Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60° de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a supe…

Os pontos A = (3, 4) e B = (4, 3) são vértices de um cubo, em que \overline{AB} é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os p…

Seja S o conjunto solução da inequação (x-9)\left|\log{x+4}(x^3-26x)\right| \le 0. Determine o conjunto S^C.

Sejam x, y \in \mathbb{R} e w = x^2(1+3i) + y^2(4-i) - x(2+6i) + y(-16+4i) \in \mathbb{C}. Identifique e esboce o conjunto \Omega = \{\, (x,y) \in \m…

Seja f : \mathbb{R}\setminus\{-1\} \to \mathbb{R} definida por f(x) = \dfrac{2x+3}{x+1}. a) Mostre que f é injetora. b) Determine D = \{\, f(x);\ x \…

Suponha que a equação algébrica x^{11} + \sum{n=1}^{10} an x^n + a0 = 0 tenha coeficientes reais a0, a1, \ldots, a{10} tais que as suas onze raízes s…

Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, 20% dos candidatos do concurso têm conseguido na primeira etapa nota s…

Sejam A, B \in M{3\times 3}(\mathbb{R}). Mostre as propriedades abaixo: a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X \in M{3\times 1}(\mathbb{R}), en…

Sabendo que \operatorname{tg}^2\left(x + \dfrac{1}{6}\pi\right) = \dfrac{1}{2}, para algum x \in \left[0, \dfrac{1}{2}\pi\right], determine \operator…

Dadas a circunferência C :\ (x-3)^2 + (y-1)^2 = 20 e a reta r :\ 3x - y + 5 = 0, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo de 45^o com r e …

Considere as n retas ri : y = mi x + 10,\ i = 1, 2, \ldots, n;\ n \ge 5, em que os coeficientes mi, em ordem crescente de i, formam uma progressão ar…

A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide regular é igual a \sqrt{5}. Exprima o volume desta pirâmide em termos da medi…

Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de …

Sejam \alpha, \beta \in \mathbb{C} tais que |\alpha| = |\beta| = 1 e |\alpha - \beta| = \sqrt{2}. Então \alpha^2 + \beta^2 é igual a

Considere o sistema Ax = b, em que A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & k & 6 \\ -1 & 3 & k-3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \…

Sejam A e C matrizes n \times n inversíveis tais que \det(I + C^{-1}A) = 1/3 e \det A = 5. Sabendo-se que B = 3(A^{-1} + C^{-1})^T, então o determina…

Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a 2 e o …

Um diedro mede 120°. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4\sqrt{3}\pi cm³ que tangencia as faces do diedro é, em cm, ig…

Considere o quadrado ABCD com lados de 10 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado \overline{AB} e N um ponto sobre o lado \overline{AD}, equid…