📐 Questões de Matemática do ITA

Seja m \in \mathbb{R}. Considere os sistemas lineares S1: \begin{cases} 4x - y = 2 \\ -16x + m^2 y + z = -10 \\ 12x - 3y + z = 8 \end{cases} e S2: \b…

Sejam z1, z2 \in \mathbb{C} com z2 \neq 0. Considere as afirmações: I. Se z1 + z2 \in \mathbb{R} e z1 - z2 \in \mathbb{R} então z1 \in \mathbb{R} e z…

Considere o polinômio p(z) = z^4 - 6z^3 + 14z^2 - 6z + 13 e note que p(i) = 0. Considere no plano complexo o quadrilátero cujos vértices são as raíze…

Seja n \geq 2 e A, B \in Mn(\mathbb{R}). Considere as seguintes afirmações: I. Se AB \neq BA então ou A ou B não é inversível. II. Se AB = 0 então BA…

Sejam x, r \in \mathbb{R} e suponha que -\pi/2 < x - r \leq x + r < \pi/2. Sobre \tan(x - r), \tan(x) e \tan(x + r), nesta ordem, podemos afirmar que:

Seja b \in \mathbb{R} tal que a equação x^2 - 6bx - (1 - b^2)(y^2 - 2by) + b^4 + 8b^2 - 1 = 0 determina uma hipérbole. Com respeito ao centro C desta…

Seja P uma pirâmide regular cujo vértice V é um dos vértices de um cubo de lado l e cuja base é o hexágono formado pelos pontos médios das seis arest…

Considere as seguintes afirmações: I. Se \alpha e \beta são planos paralelos distintos e r é uma reta tal que r \cap \alpha \neq \emptyset então r \c…

Dizemos que a representação binária de um número N \in \mathbb{N} da forma N = g \cdot 2^0 + f \cdot 2^1 + e \cdot 2^2 + d \cdot 2^3 + c \cdot 2^4 + …

Seja A o conjunto de todas as retas que passam por dois vértices distintos de um cubo C. Escolhendo aleatoriamente duas retas distintas de A, a proba…

Sejam \alpha, \beta e \theta ângulos internos de um triângulo. Se \cos(\beta + \theta) \leq \cos(\alpha + 2\beta), podemos afirmar que:

O número de soluções reais e distintas da equação \cos^2(2x) = 3 - \cos^6(x) - 5\cos^2(x) no intervalo [0, 2\pi[ é

Seja T um triângulo de vértices A, B e C com m(\overline{AB}) = 2\sqrt{5} e m(\overline{BC}) = 6. Sabendo que A\hat{B}C é agudo e T é inscritível em …

Determine o raio da circunferência circunscrita a um trapézio isóceles cujas bases e altura têm comprimentos 4, 2 e 3, respectivamente.

Determine todos os valores do número real a para os quais a matriz \begin{pmatrix} 1 & a^3 & -a & 3 & 2 \\ 2 & a^2 & 1 & a^3 & a \\ 0 & 0 & 0 & a & -…

O primeiro termo de uma progressão geométrica de números reais é 1 e a soma de seus primeiros 79 termos é igual ao produto de seus primeiros 13 termo…

Determine todos os pontos (x, y) que pertencem à circunferência de centro (5, 0) e raio 5, que satisfazem a equação: \sqrt{3x - y - 4} = \sqrt{x^2 - …

Determine as raízes comuns aos polinômios: p(x) = x^5 + x^4 - 8x^2 - 9x + 15 \quad \text{e} \quad q(x) = 3x^4 + 6x^3 + 13x^2 - 4x - 10.

Considere z = a\left(\sqrt{3} + i\right) \in \mathbb{C}, onde a \in \mathbb{R}. Determine todos os números reais a para os quais z^7 e z^{13} estão à…

Um relógio digital mostra o horário no formato H : M : S, onde H é um inteiro entre 1 e 12 representando as horas, M é um inteiro representando os mi…

Seja P uma pirâmide regular com base quadrada. Suponha que os centros das esferas inscrita e circunscrita a P coincidam. Determine a razão entre as á…

Sejam \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} tais que \alpha + \beta + \gamma = -3\pi, \operatorname{sen}\alpha + \operatorname{sen}\beta + \operatorna…

Uma moeda é lançada sucessivas vezes até que se tenha a ocorrência de 2 caras. Qual a probabilidade do número total de lançamentos ser par?

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que A é simétrica e que B é antissimétrica. Considere as seguintes afirmações: I. (A + B)^2 = …

Seja S \subset \mathbb{R} o conjunto solução da inequação (x^2 + x + 1)^{2x^2-x-1} \leq 1. Podemos afirmar que:

Os vértices da base de um triângulo isósceles PQR, inscrito numa circunferência de centro O = (5, 0), são P = (4, 2\sqrt{2}) e Q = (8, 0). Se o vérti…

Considere a curva plana definida pela equação 9x^2 + 4y^2 + 36x + 24y + 36 = 0. O ponto P = (0, 0) é vértice de um retângulo circunscrito à curva. En…

Considere um triângulo ABC tal que m(\overline{AB}) = 14, \cos\left(\widehat{BAC}\right) = \frac{3}{5} e \cos\left(\widehat{ABC}\right) = \frac{5}{13…

Seja S o subconjunto do plano cartesiano constituído pela união dos gráficos das funções f(x) = 2^x, g(x) = 2^{-x} e h(x) = \log2 x, com x 0. Para ca…

A única solução real da equação 7^x = 59^{x-1} pertence ao intervalo: