📐 Questões de Matemática do ITA

Sejam A = \cos(\alpha) + \cos(\beta) e B = \operatorname{sen}(\alpha) - \operatorname{sen}(\beta) com \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Calcule \operator…

Considere um triângulo ABC tal que m(\overline{AB}) = 4, m(\overline{AC}) = 5 e B\hat{A}C = 60^\circ. Seja D um ponto no lado \overline{AB} tal que m…

Determine os pontos P pertencentes à elipse E definida pela equação \dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1, tais que os segmentos de reta que ligam P aos focos de …

Um cilindro equilátero é apoiado sobre uma de suas bases e parcialmente preenchido com água. Quando uma esfera é colocada em seu interior, de modo a …

Um triângulo tem perímetro 20 e seus ângulos internos \alpha, \beta e \gamma satisfazem a igualdade \operatorname{sen}(\alpha) + \operatorname{sen}(\…

Em um decágono convexo, de quantas formas podemos escolher duas diagonais que não se interceptam?

Considere A \in M3(\mathbb{R}) tal que existe um único número real x que satisfaz a equação \det(\sqrt[3]{2}\,x^2A) + \det(xA^3) = \det A^2. Então, x…

Sejam z \in \mathbb{C} e f(z) = z^2 + i. Para cada n \in \mathbb{N}, definimos f^{(1)}(z) = f(z) e f^{(n)}(z) = f(f^{(n-1)}(z)). Então, f^{(2023)}(0)…

Considere as afirmações: I. Se P é um polígono convexo de n lados iguais, então P é um polígono regular. II. Seja P um polígono convexo de 6 lados. S…

A média harmônica de n números reais positivos a1, a2, ..., an é H = \frac{n}{\frac{1}{a1} + \frac{1}{a2} + ... + \frac{1}{an}}. Sabendo que o polinô…

Sejam f e g funções reais definidas da seguinte forma: f(x) = 3^{2x} e g(x) = 3^x - 2^x. Considere as afirmações: I. g(x) \geq 0, para todo x \in \ma…

Seja ABC um triângulo retângulo tal que B\hat{A}C = 30°. Considere D um ponto na hipotenusa \overline{AC} e retas r e s passando por D, paralelas aos…

Dado z = 5 - 5i \in \mathbb{C}, definimos f(n) = |z^{(2n+1)} + \bar{z}^{(2n+1)}| para cada n \in \mathbb{N}. A soma de f(n) para n de 1 até 20 é

Considere a hipérbole H de equação x^2 - \frac{y^2}{4} = 1. Seja T um triângulo de vértices P, F1, F2, onde F1 e F2 são os focos de H e P um ponto em…

Um conjunto de moedas é lançado sucessivas vezes. Em cada lançamento, todas as moedas que resultam em coroa, e apenas estas, são retiradas. As demais…

A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 10 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno de um eixo que cont…

Considere a função real f(x) = \cos(x) \cdot \left[\cos\left(\frac{x}{3}\right) + 2\operatorname{sen}(x)\right] - \operatorname{sen}(x) \cdot \operat…

Na expansão de [1 + x^2 - x^3 + x^4]^{10}, a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é

Seja x \in \mathbb{R}. Considere um retângulo R de lados medindo a = 9x^2 - 5x^4 e b = 8x - 8x^3. Sabendo que o perímetro de R é 8 determine a e b.

Seja z \in \mathbb{C} e denote por \Im(z) a parte imaginária de z. Determine todos os possíveis z \in \mathbb{C} com \Im(z) \neq 0 tais que temos sim…

Seja A a matriz com 5 linhas e 10 colunas cujas entradas a{n,m} são dadas por a{n,m} = \begin{cases} 1, & \text{se } m = 1 \\ n + a{n,(m-1)}, & \text…

No jogo da velha, dois jogadores competem em um tabuleiro ordenado formado por 3 linhas e 3 colunas. Os jogadores se alternam marcando uma casa ainda…

Considere \arccos : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi] e \operatorname{arcsen} : [-1, 1] \rightarrow [-\pi/2, \pi/2]. Determine todos os valores de \arccos…

Seja A = (0, 1). Considere a reta r de equação y = 1 - x/4 e seja s uma reta passando pela origem O e que intersecta r no 1º quadrante em um ponto P.…

Considere T um tronco de pirâmide regular de altura h = 4 + 2\sqrt{3} com bases hexagonais paralelas. Sabendo que o lado da maior base hexagonal mede…

Seja Q um quadrilátero de vértices A, B, C e D cujos lados satisfazem m(\overline{AB}) = 5 = m(\overline{CD}), m(\overline{BC}) = 3 e m(\overline{DA}…

Sejam P1 = (0, 6), P2 = (1, 5) e P3 = (2, 6) e sejam C1, C2 e C3 circunferências centradas em P1, P2 e P3, respectivamente. Sabendo que existe uma re…

Considere um octaedro regular de aresta de comprimento l1. Inscreva nesse octaedro um cubo cujos vértices estão nos baricentros das faces do octaedro…

Se x = 9\log{120} 2 + 3\log{120} 3 + 2\log{14400} 125 podemos afirmar que

Considere um triângulo de vértices A, B e C, retângulo em B. Seja r a reta determinada por A e C e seja O um ponto equidistante de A e C no mesmo lad…