📐 Questões de Matemática do ITA

Calcule a área da projeção ortogonal de um cubo de aresta 2 sobre um plano perpendicular a uma das diagonais do cubo.

Uma raiz comum aos polinômios p(x) = x^5 - x^3 + 12x - 18 e q(x) = x^4 - x^3 + 5x - 3 é

Seja H uma hipérbole no plano cartesiano cujos focos são comuns aos focos da elipse E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1. Seja P um ponto de interseção de E e …

Um número m \in \mathbb{N}, ao ser multiplicado por 16, resulta em um número com 231 divisores inteiros positivos. Considere as afirmações: I. m é um…

Sejam (an) uma progressão aritmética e (bn) uma progressão geométrica. Se a razão de (an) é r, r \neq 0, a razão de (bn) é q = 1/r, a1 = b1 = 4 e a1 …

Quatro cidades A, B, C e D estão ligadas por seis pontes distintas da seguinte maneira: – uma ponte liga A e B; – uma ponte liga A e C; – uma ponte l…

Determine todos os valores reais de x para os quais \left|\log{1/2}|x|\right| + \left|\log2|x|\right| < 4.

Dada uma matriz A \in Mn(\mathbb{R}) simétrica, dizemos que A é definida positiva se X^T A X = [y], \qquad y 0, para toda X \in M{n,1}(\mathbb{R}) qu…

Encontre as raízes do polinômio p(x) = x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 10x - 14, sabendo que vale a relação p(1 + x) = p(1 - x), para todo x \in \mathbb{C}.

O sólido S é formado pela união de dois paralelepípedos retângulos congruentes, com posição e medidas conforme a figura. Seja \overline{AB} um segmen…

Determine a equação da circunferência de maior raio que é tangente ao eixo y e passa pelos pontos (1, 4) e (3, 6).

Considere a parábola de equação y = 4x - x^2 com vértice no ponto V. Seja T o trapézio PABV, onde P = (0, 0), A é um ponto com abscissa no intervalo …

Seja z = 1 + ai uma raiz do polinômio p(x) = x^4 + 10x^2 + mx + 29, onde a e m são números reais. Determine a área do quadrilátero cujos vértices são…

Sabendo que \tan(\alpha + \beta) = -2 e \operatorname{sen}(\alpha) = (4 - \sqrt{5})\operatorname{sen}(\beta) para \alpha, \beta \in (0, \pi/2), calcu…

Sejam A, B, C \subseteq \mathbb{R} tais que C \subseteq A. Considere as afirmações: I. (A \cap B) \cup C = A \cap (B \cup C). II. A \cap B = C \cup (…

Sejam A, B, C, D \in Mn(\mathbb{R}). Considere o sistema linear \begin{cases} AX = B \\ DX + Y = C \end{cases} nas variáveis X, Y \in Mn(\mathbb{R}).…

Determine o valor de \cos\left(2\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right) + \sin\left(2\arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right).

Considere o conjunto: A = \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256\}. Qual o menor n \in \mathbb{N} tal que todo subconjunto de A com n elementos contenha …

Considere o conjunto C = \{1, 2, 3, 4, 5\}. Para cada escolha possível de a0, a1, a2, a3, a4 \in C, dois a dois distintos, formamos o polinômio a0 + …

O valor de k \in \mathbb{R} de modo que as raízes do polinômio p(x) = x^3 + 3x^2 - 6x + k estejam em progressão geométrica é:

Considere um cilindro circular reto tal que a área da sua base A1, a área da sua superfície lateral A2 e o seu volume A3 formem, nesta ordem, uma pro…

Um poliedro convexo tem 24 vértices e 36 arestas. Sabemos que cada vértice une 3 faces e que o número de arestas em cada face só pode assumir um entr…

Considere um triângulo ABC e M o ponto médio do lado \overline{BC}. Tome o ponto R \neq A na reta \overleftrightarrow{AB} tal que m(\overline{AB}) = …

Sejam a = 1 + 3\sqrt{3}i e b = 2\sqrt{3} + 4i números complexos. O menor valor m \in \mathbb{N} tal que a^m = b^m é:

Considere o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (\sqrt{2}, \sqrt{3}) e C = \left(\frac{5}{2}\sqrt{2}, 0\right). A equação da reta que passa por B e…

Considere a elipse dada pela equação \lambda x^2 + (\lambda + 4)y^2 - 4\lambda x - (10\lambda + 40)y + 25(\lambda + 4) - \lambda^2 = 0, e o círculo d…

Sejam a e b números reais positivos. Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z: \begin{cases} -ax + by + az = 0 \\ b^2x + a^3y + 4a^2z = 0 \…

Considere as seguintes matrizes: A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 6 \\ 6 & 0 \end{bmatrix} \quad \te…

Determine o conjunto solução da inequação \log{2-x}\left(-\sqrt[3]{x^2 + 2x - 3}\right) \log{2-x}\left(\sqrt[3]{3}\right).

Considere o polinômio p(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1. Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio q(x) = x^{10} - 1 por p(x) e encontre t…