📐 Questões de Matemática do ITA

Se para todo z \in \mathbb{C}, |f(z)| = |z| e |f(z) - f(1)| = |z - 1|, então, para todo z \in \mathbb{C}, \overline{f(1)}\,f(z) + f(1)\,\overline{f(z…

O conjunto solução de (\operatorname{tg}^2 x - 1)(1 - \operatorname{cotg}^2 x) = 4, x \neq k\pi/2, k \in \mathbb{Z}, é

Se \alpha \in [0;\, 2\pi) é o argumento de um número complexo z \neq 0 e n é um número natural tal que (z/|z|)^n = i \operatorname{sen}(n\alpha), ent…

A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear \begin{cases} x + y + 3z = 2 \\ x + 2y + 5z = 1 \\ 2x + 2y + az = …

Se \det \begin{bmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{bmatrix} = -1, então o valor do \det \begin{bmatrix} -2a & -2b & -2c \\ 2p + x & 2q …

Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 - i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raí…

Sobre o polinômio p(x) = x^5 - 5x^3 + 4x^2 - 3x - 2 podemos afirmar que

Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por \begin{cases} (a - b)x - (a + b)y = 1 \\ (a + b)x + (a - b)y = 1 \end{cases} Co…

Considere o polinômio p(x) = x^3 - (a + 1)x + a, onde a \in \mathbb{Z}. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite…

Numa circunferência C1 de raio r1 = 3\ \mathrm{cm} está inscrito um hexágono regular H1; em H1 está inscrita uma circunferência C2; em C2 está inscri…

Sejam a reta s : 12x - 5y + 7 = 0 e a circunferência C : x^2 + y^2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy…

Os focos de uma elipse são F1(0;\, -6) e F2(0;\, 6). Os pontos A(0;\, 9) e B(x;\, 3), x 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F1…

Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60^…

Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = \{A1, \ldots, Am\} \subset P(A) é uma partição de A se as seguin…

Seja f : [0, 1) \to \mathbb{R} definida por f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x < 1/2 \\ 2x - 1, & 1/2 \le x < 1 \end{cases}. Seja g : (-1/2, 1/2) \to…

Determine o coeficiente de x^4 no desenvolvimento de (1 + x + x^2)^9.

Determine para quais valores de x \in (-\pi/2, \pi/2) vale a desigualdade \log{\cos x}(4\,\mathrm{sen}^2 x - 1) - \log{\cos x}(4 - \sec^2 x) 2.

Considere o polinômio p(x) = x^3 + ax^2 + x + 1, com raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racion…

As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 me…

Sejam as matrizes A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1/2 & -1 \\ -2 & 5 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ -5 & 1 & 3/2 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{e} \quad B …

Seja (a1, a2, a3, \ldots, an, \ldots) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a1 = a é um número real não nulo. Sabendo que a …

Sabendo que 9y^2 - 16x^2 - 144y + 224x - 352 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal.

Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 100 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área, em \mathrm{cm}^2, do círculo inscrito neste lo…

Considere os conjuntos S = \{0, 2, 4, 6\}, T = \{1, 3, 5\} e U = \{0, 1\} e as afirmações: I. \{0\} \in S e S \cap U \neq \emptyset. II. \{2\} \subse…

Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou RR 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 san…

Uma circunferência passa pelos pontos A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, …

Sobre o número x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{3} é correto afirmar que

Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo D um ponto do lado \overline{AB} e E um ponto do lado \overline{AC}. Se m(\overline{AB}) = 8\ \math…

Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um do…

A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6\ \mathrm{cm} de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a 4\ \mathrm…